【整数問題】連分数

添付画像の問題の解き方を教えていただけないでしょうか．
# 文字に起こしたものも書いておきます．

【問】m, n, p, qは正の整数で，p, qは互いに素であるとする．
2 + 1/(m + 1/(n + 1/5)) = q/p　かつ　q - p = 432
が成り立つとき，m, n, p, qを求めよ。

私のアプローチとしては，とりあえず連分数を普通の分数に直していきました．
2 + 1/(m + 1/(n + 1/5))
= (10mn + 2m + 5n + 11)/(5mn + m + 5)

ここで，整数kを用いて以下のように表すことができる．
q = k(10mn + 2m + 5n + 11)
p = k(5mn + m + 5)
∴ q-2p = k(5n + 1)

と，次数の高いmnを消去することはできたのですが，ここで止まってしまいました．
この後の進め方，あるいは別解がございましたら，教えていただけないでしょうか．
よろしくお願いいたします．

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/09 20:11

No.2です。

式の引用番号が違っているので、訂正して全文再掲します。

q = k(10mn + 2m + 5n + 11)
p = k(5mn + m + 5)
∴ q-2p = k(5n + 1)

とありますが、ｐ、ｑは互いに素なので、１以外の共通の約数 k は持ち得ません。
従って、k=1 しかあり得ず

q = 10mn + 2m + 5n + 11　　　①
p = 5mn + m + 5　　　　　　　②
∴ q - 2p = 5n + 1　　　③

が成立します。

これに、
　q - p = 5mn + m +5n + 6 = 432　　④
も加わりますね。

④-③ より
　p = 432 - (5n + 1) = 431 - 5n　　　⑤
④ に代入して
　q = 432 + p = 863 - 5n　　　　　　⑥

ただし、③④では、未知数3個（p, q, n）に対して方程式が2個ですから、値が確定しません。

ここでは、④より
　　5n(m + 1) + m + 1 - 427 = 0
　　(5n + 1)(m + 1) = 427
ここで
　　427 = 7 * 61
なので、
　　5n + 1 = 61
　　m + 1 = 7
という組合せしかあり得ないので
　　n = 12
　　m = 6
が確定する、というのが突破口でしょう。

　あとは、①②から
　　p = 371
　　q = 803

No.4 回答者： hiccup 回答日時： 2016/08/09 21:46

p, q の方に k がかけらる形にならないことは大丈夫ですよね？

同じことだけど

2 + 1/(m + 1/(n + 1/5)) = q/p　かつ　q - p = 432

1/(m + 1/(n + 1/5)) = (q - 2p)/p　　かつ　q - p = 432

m + 5/(5n + 1) = p/(q - 2p)　　かつ　q - p = 432

5 と 5n + 1 は互いに素、p と q が互いの素だから q - 2p と p は互いに素。

からもって行くのはどうですかね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/09 20:04

q = k(10mn + 2m + 5n + 11)

p = k(5mn + m + 5)
∴ q-2p = k(5n + 1)

とありますが、ｐ、ｑは互いに素なので、１以外の共通の約数 k は持ち得ません。
従って、k=1 の

q = 10mn + 2m + 5n + 11　　　①
p = 5mn + m + 5　　　　　　　②
∴ q - 2p = 5n + 1　　　③

が成立します。

これに、
　q - p = 5mn + m +5n + 6 = 432　　④
も加わりますね。

②-① より
　p = 432 - (5n + 1) = 431 - 5n　　　⑤
② に代入して
　q = 432 + p = 863 - 5n　　　　　　⑥

ただし、③④では、未知数3個（p, q, n）に対して方程式が2個ですから、値が確定しません。

ここでは、④より
　　5n(m + 1) + m + 1 - 427 = 0
　　(5n + 1)(m + 1) = 427
ここで
　　427 = 7 * 61
なので、
　　5n + 1 = 61
　　m + 1 = 7
という組合せしかあり得ないので
　　n = 12
　　m = 6
を求まめる、というのが突破口でしょう。

　あとは、①②から
　　p = 371
　　q = 803

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2016/08/09 02:27

n = 12

m = 6
p = 371
q = 803