【高校数学：領域】動点の存在範囲

◆次の問いについて教えていただけないでしょうか。

「xy平面において，動点Pが時刻t=0に原点を出発し，y≧0の部分をある方向に一直線に速さ1で進み始める。Pは時刻t=α (0≦α≦1)にy軸の正の方向に進路をとって一直線に速さ2で進む。時刻t=1にPが存在しうる領域を図示せよ。」

◆以下，私の解答案です。

原点をO，時刻t=αでのPの位置をA，時刻t=1でのPの位置をB(x,y)，OA=p，AB=q，x軸を始線として半直線OAがなす角をθ (0≦θ≦π)とする。

Pは線分OAを速さ1で進んで時間αかかり，線分ABを速さ2で進んで時間1-αかかるので，
p/1=α，q/2=1-α
∴2p+q=2　…①

B(x,y)の各座標は次のように表せる。
x=pcosθ, y=psinθ+q　…②

ここで，(cosθ)^2+(sinθ)^2=1であるから，
(pcosθ)^2+(psinθ)^2=p^2
x^2+(y-q)^2=p^2　(∵②)
x^2+(y-q)^2=(1-q/2)^2　(∵①)
qについて整理して，
3q^2+4(1-2y)q+4(x^2+y^2-1)=0　…③

qのとりうる値の範囲を考える。
0≦α≦1であるから，0≦q≦2　…④
0≦p≦1, 0≦sinθ≦1であるから，②よりy-1≦q≦y　…⑤
④，⑤より0≦q≦y　…⑥

qの方程式③が⑥の範囲に実数解をもつような(x,y)の条件を求め，それをxy平面の図示すればよい。

③の左辺をf(q)とする。
f(q)=3{q+2(1-2y)/3}^2+4(x^2+y^2-1)-{4(1-2y)^2}/3
r=f(q)の軸はr=2(2y-1)/3，頂点の座標は(2(2y-1)/3, 4(x^2+y^2-1)-{4(1-2y)^2}/3)である。

(i) 2(2y-1)/3<0⇔y<1/2のとき
f(0)f(y)≦0となればよい。
(x^2+y^2-1)(2x-y+2)(2x+y-2)≦0　…⑦

(ii) 2(2y-1)/3>y⇔y>2のとき
(i)と同じ。

(iii) 1/2≦y≦2のとき
f(0)≧0かつf(y)≧0かつ4(x^2+y^2-1)-{4(1-2y)^2}/3≦0となればよい。
x^2+y^2≧1かつ
(2x-y+2)(2x+y-2)≧0かつ
(√3x-y+2)(√3x+y-2)≦0

◆…と，求めてみたのですが，解答がないため合っているか不安です。
　方針および答えが合っているかどうか，ご回答いただけないでしょうか。
　よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ざわざわざわ 回答日時： 2016/08/13 07:25

①の式に誤りがあります。

その後①を使うところでは、正しいものを使っているようですが。

連立不等式にするところで誤りがあるようです。実際に図示して見ましたか？

私なら、
(x,y)=a(cosθ,sinθ)+(1-a)(0,2)
とベクトルを使って表し、
点(x,y)は、2点(cosθ,sinθ),(0,2)を結ぶ線分上の点であることを使って図示しますね。

どうしても不等式であらわしたければ
#1　　　x^2+y^2≧0
　　かつ√3x+y-2≦0
　　かつ√3x-y+2≧0
　　かつy≧0

#2　　　x^2+y^2≦0
　　かつ2x+y-2≧0

#3　　　x^2+y^2≦0
　　かつ2x-y+2≦0
　　
#1または#2または#3ですかね。

この回答へのお礼

◆ご回答ありがとうございます。

＞ ①の式に誤りがあります。その後①を使うところでは、正しいものを使っているようですが。
◆ご指摘の箇所は「2p+q=2　…①」と「x^2+(y-q)^2=(1-q/2)^2　(∵①)」でしょうか？
お手数ですが、どう誤っているのかご教示いただけないでしょうか。
2p+q=2⇔p=1-q/2を円の方程式に代入しているので、両方とも合っているか誤っているかだと思っております。

＞ 連立不等式にするところで誤りがあるようです。
◆確かに、(ii) y>2のときはよくよく考えると明らかに誤っていますね…。最初からy軸の正の方向に直進してもy=2までしか到達できませんから。
どこか条件が不十分な箇所があるのでしょうか？

＞ 点(x,y)は、2点(cosθ,sinθ),(0,2)を結ぶ線分上の点であることを使って図示しますね。
◆なるほど！それでも一度解いてみたいと思います。

◆引き続き、よろしくお願いします。

お礼日時：2016/08/14 19:08

No.2 回答者： ざわざわざわ 回答日時： 2016/08/15 20:00

すみません。

①は勘違いでした。合ってます。申し訳ないです。

質問者さんの答案を読ませて頂きました。
③をx,yを定数として、qの二次方程式として考えていますが、x,yとqは独立ではないので、このような考え方はできないと思います。