電気通信大学の情報工学科への編入を考えてる者ですが、
過去の問題にこのことに関しての問題が出題されているのですが
授業でやってないので解りません。
参考になる書籍や、URLを教えてください。

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A 回答 (1件)

大体の概念としては、ふつうの平面や空間での内積をn次元に拡張したものだと思います。


(ベクトル)u=(u_1,u_2,…,u_n)
(ベクトル)v=(v_1,v_2,…,v_n)
のとき、ユークリッド内積u・vは
u・v=u_1*v_1 + u_2*v_2 + ・・・ + u_n*v_n
となります。

授業でやった程度なので、詳しくは分かってないです。
他の人のをご参考下さい。
僕としては、電通についてのアドバイスを。

1年次に線形代数という授業で、行列・ベクトル等について勉強します。そこでユークリッド内積を習いました。(学科は違うけどたぶん一緒でしょう。)
授業では、

H. アントン 著(山下 訳)『やさしい線型代数』(現代数学社)

を使いました。定理や例題が結構載ってます。分かり易いかは、別かもしれませんが・・・。お勧めと言うよりもご参考までに。

それでは!!
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Q内積と外積について

内積と外積について

2つのベクトルをA,Bと表し、2つのベクトルのなす角をθとします。
また、A=(ax,ay,az),B=(bx,by,bz)です。

内積はA・B=|A||B|cosθと表されこれはスカラー量です。
内積はAのBへの正射影とBの積(もしくは、BのAへの正射影とAの積)と認識しています。
また、A・B=axbx+ayby+azbzとも表されこれはスカラー量です。
A・B=|A||B|cosθ,A・B=axbx+ayby+azbzはどちらも内積の定義なのでしょうか?


外積は|A×B|=|A||B|sinθと表されますが、これもスカラー量ですよね。

外積はベクトル積と呼ばれることもあるようですが、
これは、外積の定義A×B=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-ayax)がベクトルとなるからベクトル積と
言われるのでしょうか?

|A×B|=|A||B|sinθは定義ではないのですか?

以上、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

内積の定義は、
固有値がどれも正の値であるような
対称行列 G を係数として、
a・b = (aの転置) G b
です。(右辺は行列積です)
G の各成分の値は、a,b が属するベクトル空間の
基底のとりかたしだいで変わりますが、
上手い基底を選ぶと、G が単位行列になる
ようにできます。その基底のもとで、
内積の成分表示は、三次元の場合、
a・b = ax・bx+ay・by+az・bz
と書けます。こっちの式のほうが、
本来の定義に近いですね。

cosθ が入ったほうの式は、
内積ではなくて、「なす角」の定義ですよ。
コーシー・シュワルツの不等式によって、
内積÷ベクトルの大きさの積は
-1 ~ 1 の値であることがわかるので、
それが =cosθ となるような実数 θ を
決めることができるのです。
そのような θ を、二つのベクトルの「なす角」
と呼びます。

外積の定義は、ベクトル値のほうが正解。
スカラーのほうは、外積ベクトルの大きさに
適当な符号をつけたもので、
外積そのものとは、違います。

内積の定義は、
固有値がどれも正の値であるような
対称行列 G を係数として、
a・b = (aの転置) G b
です。(右辺は行列積です)
G の各成分の値は、a,b が属するベクトル空間の
基底のとりかたしだいで変わりますが、
上手い基底を選ぶと、G が単位行列になる
ようにできます。その基底のもとで、
内積の成分表示は、三次元の場合、
a・b = ax・bx+ay・by+az・bz
と書けます。こっちの式のほうが、
本来の定義に近いですね。

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内積ではなくて、「なす角」の定義ですよ...続きを読む

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数学の問題集に別解ある問題ありますが、その別解と本解の解きやすさの違い見て、解きやすい方を身につけていく方が良くないですか?ちなみに、数学3の場合の話です。記述型のみです。

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要するにどちらで説いてもいいんですよ。解く道筋が自分にとってつけやすい方で解いていけばいいです。ただ両方の道筋の付け方を理解することで、違う問題に対しても応用範囲が広がる可能性はあります。

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こんにちは。
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式は分かりますが、いまいちその意味がわかりません。

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

内積:
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その他方のベクトルの絶対値との積で表したスカラー値
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外積:
2つのベクトルが2辺をなす平行四辺形の面積の値と
同じ大きさで、2つのベクトルで作られる平面に
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答えは40km。問題として成立していると思います。

Q内積、外積の発想はどのようにしてなされたのですか?

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どこが自然なのか?何を考えて内積や外積に気がついたのか?
なにか知っていましたら教えていただければと思います。
また、内積や外積について、そのように定めたことによって得られたものなどを、内積という概念が導入された経緯とともに教えていただければとても助かります。


※現代において厳密に整備された概念や、内積をもとにして生み出された概念、また公理的な概念による説明などはこの質問の意図するところではありません。自然数とは何かと聞かれて、ペアノの公理を説明するような回答は望んではいないということです。あくまで「直感」的な立場の回答をお願いいたします。また、簡単に思いつくような、検索欄に「内積 歴史」などによって調べて出てきた日本語でのネット上のページや、知恵袋、okwaveといった質問投稿サイトでの同様の質問はいろいろと見てみましたし、大学の図書館で言及しているものがないかをパラパラと調べてみましたが、結局知りたい情報はありませでした。(英語のサイトは、英語があまり得意ではなく、挫折してしまったので、そちらの情報などで役に立つものがあるのかもしれませんけれども・・・)
どなたか内積の歴史などについて言及している本をご存じではありませんか?
知っていましたら是非教えてください。


回答、よろしくお願いいたします。
皆さまの回答、お待ちしております。

意識的にしろ、無意識的にしろ、内積や外積が考えられたのには、何かしらの背景があると思うのですが、歴史的に見て、また、その当時の社会的背景などをかんがみて、これらの概念はどのように生まれたのでしょうか?

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Aベストアンサー

内積や外積、ベクトルの起源は、ハミルトンの四元数です。四元数の純虚数空間の数をベクトルと呼びます。
ベクトルの積を求めます。
z=bi+cj+dk
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とすると、
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=(-bq-cr-ds)
+(cs-dr)i
+(-bs+dq)j
+(br-cq)k
となります。
このz*wの実数部分が内積のマイナス1倍であり、虚数部分が外積になっているのがわかります。このため、四元数の積を簡単に表すために内積や外積が生まれました。
ベクトルについては今使われる意味に変わっていきましたが、そこでも内積や外積は特に物理を通じて役立つものだったため四元数の概念が衰退した後も定着していくことになります(四元数自体もかなり復権していますが)。

Q数学の問題を解く時なのですが、ノートに丁寧に解くか捨てるプリントの裏にガーーっと解いて丸つけ見直しを

数学の問題を解く時なのですが、ノートに丁寧に解くか捨てるプリントの裏にガーーっと解いて丸つけ見直しをして捨ててしまうのとどちらがいいですか??
国立文系志望で今のところ数学はセンターのみです。

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現時点ですでに数学の力が相当にある(少なくとも、数学を得意だと思っている)なら、がーーと解いてもよいです。
もし、現時点で数学が苦手だと思っているなら、きれいに時間かけて解いたほうがよいです。
ただし、数学が得意だと思っている人でも、よくケアレスミスや計算間違えをする人は、計算用紙も答案なみにきれいに書いたほうがよいです。

それから、がーーと解く場合でも、「きれいに丁寧に」書く必要はないですが、
使う紙自体は、捨てるプリントの裏ではなくて、1問ごとにノートの真っ白なきれいなページ、を贅沢に使うべきです。
数学の勉強だけをひたすら必死に頑張ったって、せいぜい3~4日でノート1冊が埋まるくらいでは。
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Qベクトル、内積、外積など

ベクトル、内積、外積など

はじめまして、私は情報系の分野を専門的に学習している学生です。
情報分野ではそれなりの知識を持っているので、あえて数学的な
質問をさせていただきます。

  ・三次元平面上に点ABCがあります。

  ・点ABCを含む平面上に点Pがあります。

三角形ABC内に点Pが存在することを確かめるには、
どのようにすればよいでしょうか?

またこれには以下のような制約があります。

  ・パソコン上で計算するので、なるべく計算回数
   (特に乗算、除算)を抑えたい。

  ・パソコン上では三角関数などは級数なので精度、
   処理速度、共に両立できない。

なので、なるべく少ない計算量で、四則演算のみを用いた
解法が必要です。

以下は私の考えた手順ですが、

  (1)ベクトルBcとBa(もしくはBp)との外積によりベクトルNを得ます。

  (2)ベクトルNとBcとの外積によりBcに直行するベクトルBc´を得ます。

  (3)ベクトルBc´とBpとの内積が負ならば、点Pは線分B-Cの外に位置します。

  これをB-C、C-A、A-Bと行うことで判定します。

これでは外積を2回、内積を1回計算する必要があり、計算量が多いので
より簡潔な手法が必要です。




(本当に数学って大切ですね、もっと勉強しておけばよかった(^^;)

ベクトル、内積、外積など

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質問をさせていただきます。

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どのようにすればよいでしょうか?

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   (特に乗算、除算)を抑えたい。

  ・パソ...続きを読む

Aベストアンサー

点Pが点ABCを含む平面上にあるなら、
ベクトルAbとApとの外積、ベクトルBcとBpとの外積、ベクトルCaとCpとの外積
この3つのベクトルは平面の法線ベクトルなので、同じ方向か逆方向のベクトルになります。

3つとも同方向なら点Pは三角形ABC内です。

2つのベクトルが同方向か逆方向かは内積の正負で判断できます。

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Q内積と外積の物理的意味を教えてください

内積と外積の物理的意味がわからないです。
内積は結果がスカラーになり、外積は方向と大きさをもつベクトルになるということはわかるのですが、「物理的意味」ということがよくわかりません。

Aベストアンサー

すいません、URL張り忘れました。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/product.html

Q先日出題された某高校入試問題、三角形の問題です

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