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複素数表示と極座標表示とはなんなのか?またその違いを教えてください。

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A 回答 (4件)

いろいろな説明の方法があると思います。

ここでは身近で分かりやすい考え方を紹介します。

まず複素数ですが、これは1つの数式で2次元(お互いに独立している)の位置(場合によっては大きさ)を表わすものです。このときにはiを使い、 3 + 4i(あるいは 3 +i4)のように表現します。iはイマジナリーの略で、虚数という意味です。iと4は切り離して使ってはいけません。3は実数です。

2次元は、直行するX軸とY軸で表現した平面上の位置関係を表わしたものと思えばよいし、もっと身近には(ある基準位置=原点を中心にして)東西南北のどの位置であるかを表わすものと思えばいいんです。
たとえば、実数を東西方向に進んだ数値、虚数は南北に進んだ数値だと決めておくと、3 + 4iは東へ3メートル、北へ4メートル進んだ位置を示すことになります。数字にマイナスが付けば、逆方向です。

極座標は同じ平面上の位置関係を表わす別の方法です。この方法では(東西南北を例にして言えば)東へ何m進み、そこから反時計方向に何度回れば所定の位置が決まるか、となります。極座標では「東へ何m」という数値と、「何度回る」という角度で表現するわけです。
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フェーザ法の話?



大きさと位相を持つ量を表すには「複素数」が都合がよいのですが
フェーザ法では電圧やインピーダンスを複素数で表します。

「複素数」は複素平面上の2次元座標で表現する方法(直交座標表示)と、
複素数の「大きさ」と「位相」(向き)で表す方法があります。

複素数表示とは、直交座標表示(3, 4) を 3 + 4i というように
虚数を利用して表したもの、

後者が極座標表示でしょう。

極座標表示は2次元座標を表す定番の方法で、複素数やフェーザ法専用の
ものではありません。高校数学で習います。

http://mathtrain.jp/kyokuzahyo
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xy平面と原点中心の円を考えます。


この円の半径を、0~∞まで変えてやることで、円の軌道は、xy平面上の全点を通ることができますよね。
原点を通る、x軸とθ(0≦θ<360º)の角度を為す直線を考えてやります。
この直線と半径r(r≧0)の交点は、rとθを定めてやると、一点に定まります。
xy座標だと、xとyを定めてやればその座標が一点に定まるのと同じです。
例えばxy座標の点(1,1)は、((√2)・cos45º,(√2)・sin45º)なので、極座標だと、(r,θ)=(√2,45º)と書けます。
三次元も、(r,θ,φ)と、もう一つ角度を追加してやることで表せます。
あなたの机の上の円の中心から鉛筆が伸びていて、あなたが定めたx軸と、θの角度を為している。
その鉛筆が、今度は上方向に立ち上がり、平面とφの角度を形成する、というイメージです。円から球体になるのです。
戦艦の大砲が、水平方向に周りながら、今度は甲板から立ち上がっていって狙いを定める感じです。

複素数表示は、詳しくはありませんが、xyz軸のどれか一本が(2本ということもあるのかもしれませんが、私はその辺り知りません)虚数を指しています。
普通はxyz軸も実数だし、rθφも実数でしょう。
xyzでどれかが虚数軸、というのは考え方として判り易いですが、rθφだと何が虚数何だか私にはよく判りません。
交流なんかでθかφかが変化すると、虚数域に突っ込んじゃうんでしょうね。

まぁ実数空間でのrθφに馴染んでおかないと、いきなり複素数極座標表示は辛いのかもしれません。
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ご参考に↓


http://www.ee.t-kougei.ac.jp/tuushin/lecture/mat …

検索すればすぐに出てきます。
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