物理の電場の問題です この問題がよく分かりません 解説お願いします

物理の電場の問題です
この問題がよく分かりません
解説お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： motochans 回答日時： 2016/10/21 22:51

電磁気学でガウスの定理というのがあります。

(http://homepage3.nifty.com/first_physics/electro … から引用しています。）
E ： 各点における電場を表す。ベクトル量です。
dS ： 閉曲面上の面素ベクトル。デカルト座標では dS = n dx dy などと表される。ｎは閉曲面上の外向きの単位ベクトルです。
ε ₀ ： 真空の誘電率で、スカラーの定数です。
ρ ： 電荷密度。問題によっては線電荷密度や面電荷密度ともなる。(スカラー）すみません。私の都合で問題の電荷密度σをρにしています。
dv ： 微小体積要素。デカルト座標では dv = dx dy dz(スカラー)
とすると下の式のようになります。
少し難しい表現ですが、簡単に言うと３次元空間で、閉曲面を考えます。例えば風船のような閉じた面ですね。右辺の体積積分値は、その内部における電荷の総量を表すことは理解できるでしょうか？一方で左辺はその閉曲面から外向き垂直方向に出ていく電場を集積したような量です。ですのでその閉曲面で囲まれた空間中に存在する電荷の総量とその閉曲面から外向きに出ている電気力線の総量が比例しているということを意味しています。で、その比例定数がε₀というわけ。
これだけの予備知識をもとにして、質問の図の円筒形の閉曲面についてガウスの法則を適用してみます。するとガウスの定理の右辺の面積分は上面部分＋側面部分＋下面部分の各積分になりますが、側面上で外向きの電場はゼロです(全部面に沿った方向の電場になっている)ので側面部分は0です。上面部分は上向き(閉曲面の外向き)の一様な電場ですからこれの大きさをEとすると面積分値はE×Aとなります。同様にして下面の面積分値もE×Aとなります。よって右辺の表面積分はE×A＋E×A=2×E×A
一方ガウスの法則の左辺は、この円筒形内部の電荷の総量だからρ×A
そこで、ρ×A＝2×E×A/ε₀　→　両辺をAで除して整理すると　E=ε₀・ρ/2
となる。
問題は上面と下面の面積分値を問うているので答えはE×Aですが、Eを問題に与えられた既知の量で置き換えると　答えはE×A＝(ε₀・ρ / ２）×Aとなります。で電荷密度を問題にあるようにσに戻して整理すると答えは　ε₀・σ・A /２　です。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/20 18:14

上面の面積分+下面の面積分=σA/ε

だから
上面の面積分=下面の面積分=σA/(2ε)

ガウスの定理を知っていれば、考えることは
何もないです。定理そのままです。