下記で、「rcosθ」「b+rsinθ」がどこから導き出されるか分からず、調べています
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
下記に式が掲載されているのですが、
・θは、どうやって決定されるのでしょうか? 直角以外の角度は2つあると思うのですが
・cは直角の対辺と分かるのですが、aとbの違いはどこで判断するのですか?
http://keisan.casio.jp/exec/system/1260261251
上記で掲載されている3つの式について
・これは三角関数ですか?
・それとも、三角関数の一部?
・誰がいつどこで決定したのでしょうか?
・正確な公式(仕様)は、どこで確認できるのでしょうか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
30º、60º、90º、の直角三角形がありますよね。
斜辺をa、長い方の辺をb、短い方の辺をc、とすると、a:b:c=2:√3:1、となっています。
ここで30ºを所謂θと見立てると、
sinθ=c/a=1/2
cosθ=b/a=(√3)/2
tanθ=c/b=1/√3
となります。
一方、60ºの方を所謂θと見立てた場合は、
sinθ=b/a=(√3)/2
cosθ=c/a=1/2
tanθ=b/c=√3/1
となります。
tanは逆数になり、sinとcosが入れ替わってますが、結局b/aはb/aでしかなく、どこをθと取るかでそれがsinになるかcosになるかということでしか無いのです。
三角形についてはそうですが、どこをθにするかは、「便利な方」となるでしょう。
本題は、円についての議論ですよね。
単位円、というものがあるのですが、これが三角関数の基礎にもなります。
http://examist.jp/mathematics/trigonometric-rati …
そこの図で、原点に触れている方をθとしていますが、もう一方をθとしたってどうにかならないわけでは無いですが、
「不便」
じゃないですかね。
素直に原点やx軸に対してθの角度を取る、とした方が判りやすい.
θの増減で円周上をクルクル動く方が判りやすいでしょう。
だから「便利な方」で考えます。
不便な方で考えたって、上記の通り、sin、cos、tanが入れ替わったり逆数になったりするだけですから。
単位円を考えると、円周上の一点のx座標は、図の通り、直角三角形の底辺で、y座標は高さです。
θを原点のx軸との角度と取ると、直角三角形の底辺=円周上の一点のx座標は、
底辺=底辺×斜辺/斜辺=底辺/斜辺×斜辺=cosθ×斜辺=半径×cosθ
というわけです。
斜辺/斜辺は=1だから、これをかけても計算結果は変わりませんし、斜辺は円の半径であって、単位円の場合はこれが1、一般的な円なら半径rです。
従って、原点を中心とする円周上の一点のx座標は、rcosθ、と書けるのです。
同様に、y座標は、rsinθ、と書けます。
中心が(p,q)、半径がrの円を考えます。
X=x-p、Y=y-q、とおくと、x=pのときX=0,y=qのときY=0、となります。
つまり、こういうXY軸を作ってやると、XY軸の原点中心の円、と見ることができます。
すると、このXY座標では、この円周上の一点は、(rcosθ,rsinθ)、と書けます。
これをxy座標に戻してやると、
XYでの(0,0)がxyでの(p,q)ですから、XYでの座標にそれぞれpとqを足してやれば良い。
従って、xy座標での円周上の一点は、(p+rcosθ,q+rsinθ)、と書けます。
上記の議論は、それぞれ基礎なんで、それが判らずに三角関数やら何やらをやろうとしても、たぶんあちこちの基礎で躓くだろうと思います。
中学高校の基礎レベルのことを大事にして下さい。
・回答ありがとうございました
>そこの図で、原点に触れている方をθとしていますが、もう一方をθとしたってどうにかならないわけでは無いですが、
>「不便」
>じゃないですかね。
>素直に原点やx軸に対してθの角度を取る、とした方が判りやすい.
>θの増減で円周上をクルクル動く方が判りやすいでしょう。
>だから「便利な方」で考えます。
>不便な方で考えたって、上記の通り、sin、cos、tanが入れ替わったり逆数になったりするだけですから。
・なるほど、そういうことなんですね
・説明大変分かりやすかったです
No.13
- 回答日時:
ちょっと調べて見ました。
隣辺の元は英語のadjacent side(s)
ですが、確かにadjacent sideは直角三角形の対辺でも
斜辺でも無い辺を指すようですね。
ー方、adjacent sidesは頂点を挟む2辺のことで、
小中学でやはり「隣辺」と教えます。
つまり日本語では単数複数の区別が無いので、同じ単語に
二重の意味を持たせているようです。
全然気づいていませんでした。
私は後者しか知りませんでした(^-^;
・回答ありがとうございました
>つまり日本語では単数複数の区別が無いので、同じ単語に
>二重の意味を持たせているようです
・「記号」よりも「日本語」で説明された方が分かりやすいかな、と思い質問したのですが、「隣辺」の意味を知らないと分からないため、やはり「記号」で表現した方が分かりやすいのかな、と思いました
No.12
- 回答日時:
No7です。
>・それ以外の辺は「底辺」もしくは「隣辺」と呼ぶ。名称に決まりはない?
チョット違う様な。
NO7のお礼文の中で、「斜辺」と「対辺」の定義が書かれていますね。
その通りです。 で、三角形ですから残りの辺を「隣辺」と云います。
つまり、角度θの隣にある辺で斜辺でない辺が「隣辺」です。
「底辺」と云う言葉も良く使いますが、上の3つの言葉とは別の場合で使われます。
例えば、三角形の面積は(底辺)×(高さ)÷2 の様な時に。
No.10
- 回答日時:
>・それとも、「底辺」もしくは「隣辺」という名称は一般的ではなく、
>それぞれのサイトが分かりやすいよう便宜上付与しているだけ、
>ということでしょうか?
話がずれてきてますが
隣辺:
直角を挟む辺です。θ側の隣辺なら正しいですが、
ただの隣辺ならNG
対辺も同様で 角度θの対辺と書かないとNGです。
まあ、読めばわかるよねというノリの図なんでしょう。
底辺:
三角形の下側が底辺とは限りませんので厳密にはNG。
どうもθの位置に対して相対的な辺の位置の名称を決めたいという
ように質問が矮小化しているみたいですが、そういう話なんですか?
何故図や記号を使ってはいけないのでしょう?
θはθのままでいいんですか?
・回答ありがとうございました
>どうもθの位置に対して相対的な辺の位置の名称を決めたいという
>ように質問が矮小化しているみたいですが、そういう話なんですか?
・回答いただいたみなさんが詳しそうだったので、以前からの疑問も、ついでに質問しました
>何故図や記号を使ってはいけないのでしょう?
・自分には分かりにくかったので、図や記号を使わないとどうなるのかな、と思い質問しました
>θはθのままでいいんですか?
・そこまでいくとキリがないので、θはθのままで大丈夫です
No.8
- 回答日時:
>・それ以外の辺は「底辺」もしくは「隣辺」と呼ぶ。
これはないですね。図で示し、適当な記号を
割り当てるのが一番。
・回答ありがとうございました
・下記に掲載されている内容は誤りでしょうか?
・それとも、「底辺」もしくは「隣辺」という名称は一般的ではなく、それぞれのサイトが分かりやすいよう便宜上付与しているだけ、ということでしょうか?
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sanka …
http://examist.jp/mathematics/trigonometric-rati …
No.7
- 回答日時:
>・教科書は持っていません ・私は学生ではありません
大変失礼しました。学生だと思っていましたので。
三角形の辺を便宜上 a,b,c と決めているだけです。
多くの場合、図に有る様な書き方をするのです。
あなたが、質問文に書いた「keisan」のサイトも、
解り易く書いてあると思います。
その様なものとして理解して下さい。
No3の方の回答にある「受験の月」のサイトも
記号はr,x,y となっていますが、同じ意味の事が書いてあります。
(但し、発展的な説明もありますので、少し難しいかも知れませんね。)
ここに書かれている3つの三角関数が基本です。
三角関数はこう云うものだと云う事が決められているだけです。
その原理は不変で、場合によって変わるものではありません。
回答ありがとうございます
>三角関数はこう云うものだと云う事が決められているだけです。
>その原理は不変で、場合によって変わるものではありません。
下記認識で合っていますか?
・三角関数は、直角三角形の場合にのみ成立
・直角の角と対向する辺を斜辺と呼ぶ
・角度θの角と対向する辺を対辺(たいへん)と呼ぶ
・それ以外の辺は「底辺」もしくは「隣辺」と呼ぶ。名称に決まりはない?
・この時、以下の式が成立する
・sinθ= 対辺の長さ/斜辺の長さ
・cosθ= 底辺の長さ/斜辺の長さ
・tanθ= 対辺の長さ/底辺の長さ
※角度θは、直角の角以外ならば、何れを選択しても良い。一般的には、「便利な方」をθとする
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sanka …
http://examist.jp/mathematics/trigonometric-rati …
No.5
- 回答日時:
<なるほど、θを直角以外のもう1つの角にとっても良いんですね>
あのー、誤解のないようにもう一度言葉で申し添えますが、
直角をはさむ2辺のうち、
斜辺と角θをつくっている辺/斜辺がcosθ、角θと対向している辺/斜辺がsinθ、
角θと対向している辺/斜辺と角θをつくっている辺がtanθ
ということですので、θを直角以外のもう1つの角にとった場合、値がちがってくることに
ご注意ねがいます。
・回答ありがとうございました
>値がちがってくることにご注意ねがいます
・内容難しかったです
・何の値でしょうか?
・cosθ、sinθ、tanθ の値が違ってくる、という意味でしょうか?
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