1≦インテグラル0から1までの1/√1-x^4dx≦π/2 の成り立つことを示せ。(ヒント:積分区間

1≦インテグラル0から1までの1/√1-x^4dx≦π/2
の成り立つことを示せ。(ヒント:積分区間における 1，1-x^2，1-x^4 の大小関係を考えよ)

という問題がわかりません。
教えてくださいm(._.)m

No.8 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/09 20:46

√抜けていますので、付けてください！

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/09 15:22

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …

x=0の時
1ーx^2=1ーx^4=1 …(1)
1＞x＞aの時、但し1＞a＞0の実数
1ーx^2＜1ーx^4=(1ーx^2)(1+x^2)＜1
逆数にすると
1/(1ーx^2)＞1/(1ーx^4)＞1 より
x=1は規定されていないので、
左辺の定積分=lim 【a →1】∮【0→a】1/(1ーx^2)dx

=lim 【a →1】［arc sin x ］ 【a→0】 に訂正！
=π/2

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/09 15:18

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …

x=0の時
1ーx^2=1ーx^4=1 なので、
lim【a→1】∮ 【0→a】1 dx=1
1＞x＞aの時、但し1＞a＞0の実数
1ーx^2＜1ーx^4=(1ーx^2)(1+x^2)＜1
逆数にすると
1/(1ーx^2)＞1/(1ーx^4)＞1 より
x=1は規定されていないので、
左辺の定積分=lim 【a →1】∮【0→a】1/(1ーx^2)dx
=lim 【a →1】［arc sin x ］【0→a】
=π/2 …… ＞1
よって
1≦インテグラル0から1までの1/√1ーx^4dx＜π/2
(左辺の等号は、x=0 )
尚 表示された関数は、全て連続であることを示しておいてください！
また、右辺の 等号 は、わかりかねます ？

No.5 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/02/06 22:10

まず, 1/√(1 - x^2) と 1/√(1 - x^4) は, x = 1 で定義されないことに注意せよ.

そのことを意識していない答案に, 点は与えられない.
∫_[0->1] 1/√(1 - x^2)dx と ∫_[0->1] 1/√(1 - x^4)dx は, どちらも広義積分である.

a を 0 < a < 1 であるような実数とする.
0 ≦ x ≦ a であるとき, 0, 1, 1 - x^2, 1 - x^4 の大小関係を考えることから始めて,
1, 1/√(1 - x^2), 1/√(1 - x^4) の大小関係を決定せよ.
次に, 閉区間 [0, a] 上で 1, 1/√(1 - x^2), 1/√(1 - x^4) が積分可能かどうか考え, どれも積分可能なら,
∫_[0->a] 1dx, ∫_[0->a] 1/√(1 - x^2)dx, ∫_[0->a] 1/√(1 - x^4)dx の大小関係を決定せよ.
そして, 以下の 3 つを考える.
lim_[a->1-] ∫_[0->a] 1dx, lim_[a->1-] ∫_[0->a] 1/√(1 - x^2)dx, lim_[a->1-] ∫_[0->a] 1/√(1 - x^4)dx
3 つとも極限値が存在するなら, それらの大小関係を定める関係式が, そのまま示すべき関係式である.

なお, 1/√(1 - x^2) は [0, a] 上で（誰もが知っている）原始函数をもつ.
∫_[0->a] 1/√(1 - x^2)dx を求める際, x = sin t などという幼稚な変数変換は, しないことを勧める.

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/06 17:11

下から6行目の

√(1ーx^2)=√(1ーsint^2=√cost^2=cos t (∵ t ≧0)
→
√(1ーx^2)=√(1ーsint^2 t=√cost^2 t=cos t (∵ t ≧0) に訂正します。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/06 13:48

x : 0 →t の時 t : 0 → π /2

x : 0 →1の時 t : 0 → π /2 に訂正！

また、下から3つ目の２／πは、全てπ/2に訂正！

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/06 13:38

ヒントより

１ーx^2≦(1ーx^4=(1ーx^2)(1+x^2)≦1 は明らかより
逆数にすると、不等号は逆さまになるので、
1/(１ーx^2)≧1/(1ーx^4)≧1 …(1)
になるので、両辺を定積分すれば良い
ここで、
x=sin t とおくと dx =cos t dt …(2)
x : 0 →t の時 t : 0 → π /2
√(1ーx^2)=√(1ーsint^2=√cost^2=cos t (∵ t ≧0)
よって (2) からも
∮【x:0→1】1/(√(1ーx^2))dx=∮【t: 0→π/2】cos t / cos t dt
∮【t: 0→π/2】1・dt=［t］【t: 2/π→0】=2/π …(1)の定積分の左辺

(1)の定積分の右辺=∮【x:0→1】1 dx=［x］【x:1→0】=1ー0=1
よって 与えられた不等式は証明された。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/03 01:08

この問題のどこがわからないのでしょうか?