RLC直列回路の問題なのですが…

RLC直列回路の問題なのですが。
複素数を用いた計算の仕方がわからず困っています、またこの計算の答えで正解なのかもわかっておりません。
間違っているところと計算の仕方を教えていただければ嬉しいです。
式はすべて問題に与えられていたものです。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/04/16 18:53

No.1です。

フェーザ表記が何をしているのかを補足します。

インピーダンス Z があるときに、電流 I が流れれば
　　V = I*Z
の電圧が発生します。

抵抗の電圧は I*R
コイルの電圧は I*jωL
コンデンサーの電圧は I*(1/jωC) = -I*(j/ωC)

全体の合成インピーダンスは Z= R + j[ ωL - 1/(ωC) ]
全体の合成電圧は V= I*Z = I*{ R + j[ ωL - 1/(ωC) ] }
　これは、個々の電圧を足し合わせても、合成インイーダンスを使って計算しても結果は同じです。

これらの関係を図示したのが下記の図です。この図は、「電圧」を示していますが、上のように「インピーダンス」を示しても同じことになります。
さらに各々の電圧に電流をかけた「電力」を示しても同じ図になります。「電力」の場合には、実軸上（右向き）が「有効電力」、虚軸上（上向き）が「無効電力」、合成した電力が「皮相電力」、「皮相電力」と「有効電力」のなす角 θ が「位相角」、「cosθ」が「力率」です。
この図の意味が分かれば、「フェーザ表記」の意味が分かると思います。

そうすると、「全インピーダンスの絶対値」は「全体の合成電圧」に相当する「合成インイーダンス」の「矢印の長さ（ベクトルの長さ）」に相当することが分かると思います。

お示しの問題の場合には、
　抵抗のインピーダンスは R=80(Ω)
　コイルのインピーダンスは ZL = jωL = j*2パイf*L = j*2*3.14*50 * 200*10^(-3) = 62.8j (Ω)
　コンデンサーのインピーダンスは Zc = 1/(jωC) = -j/(ωC) = -j/(2パイf*C) = -j/[ 2*3.14*50 * 100*10^(-6) ] = -j/0.0314 (Ω) ≒ -31.8j (Ω)
ですから、合成インピーダンスは
　Z = 80 + j62.8 - j31.8 = 80 + j31.0

|Z| = √(80² + 31²) ≒ 85.8

ということになります。 直角三角形の「三平方の定理」であることが分かると思います。
　これは
　　|Z| = √(Z*Zbar) = √[ (80 + j31)(80 - j31) ] = √(80² + 31²) ≒ 85.8
と同じことです。

はじめに「電圧 100V」が与えられている場合には、電流は
　　I = V/Z = 100/(80 + j31) = 100(80 - j31)/(80² + 31²) ≒ 1.09 - j0.421
となります。
これは、下記の図の「全体の合成電圧」を 100V （下記の図を -θ 回転させて実軸上にプロット）としたときの、「電流」（赤の矢印）の複素数表示になります。

No.3 回答者： 富士山兄 回答日時： 2017/04/16 12:25

下のURLをクリックして参考にして計算してください。

「共役複素数の覚えておくべき性質」
http://mathtrain.jp/kyoyaku

「共役複素数」と「1：共役複素数との積は非負実数」の項目を参考
にします。

「a＝80、b＝31」の数値を代入して計算します。

(a＋bj)(a－bj)＝a^2＋b^2＝80^2＋31^2
　　　　
　　　　＿
　√（ＺＺ ）＝√(a^2＋b^2)
　　　　＿
　√（ＺＺ ）＝√(80^2＋31^2)
　　　　＿
　√（ＺＺ ）＝√(6400＋961)
　　　　＿
　√（ＺＺ ）＝√(7316)
　　　　＿
　√（ＺＺ ）＝85.796
　　　　＿
　√（ＺＺ ）＝85.8[Ω]


なお、単純な計算方法を覚えておくと良いでしょう。
1)ベクトル図を書きます。
2)絶対値Ｚ[Ω]の計算式はピタゴラスの三平方の定理を利用します。
　抵抗分----------------------------Ｘ
　リアクタンス分＝(jＸL－jＸC)----Ｙ
　インピーダンス-------------------Z
　Ｚ＝√（Ｘ^2＋Ｙ^2）[Ω]

　また、答えには「単位記号」を付けます。

No.2 回答者： m-jiro 回答日時： 2017/04/16 11:54

どこも間違えてない。

このまま計算を続ければよい。

Zabs ＝ √(Ｚ・Ｚバー)
　　＝ √( ( 80＋31j ) × ( 80－31j ) )
　　＝ √( 80×80 ＋ 80×31j －80×31j － 31j×31j )
　　＝ √( 80×80 ＋ 31×31 )　　　　　( j × j ＝ －1 を使う)
　　＝ √( 6400 ＋ 961 )
　　＝ √7361
　　＝ 85.8　　[Ω]

がんばれ！！！

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/04/16 11:48

「複素数を用いた計算の仕方」は「フェーザ表記」というものですね。

「フェーズ=位相」ということで、「周期関数」で表される交流を、「周波数はみな共通」なので、「位相角」だけに着目して表記する方法です。
周波数は「角周波数：ω = 2パイf 」で表記します。

交流では、直流の「オームの法則」の「抵抗」に相当するものが、コイル（誘導性負荷）やコンデンサー（容量性負荷）では「電圧と電流の位相がずれる」ので、「抵抗」の代わりに「位相の進み遅れ」を考慮した「インピーダンス」を使います。この「位相の進む遅れ」を「複素数」で扱うと、電圧・電流・インピーダンスの「かけ算・割り算」が「位相の足し算・引き算」でできるので便利なのです。

「抵抗」は、電圧と電流の位相が同じなので、抵抗がそのまま「抵抗性リアクタタンス」「インピーダンス」になります。

「コイル（誘導性負荷）」の「インダクタンス：L」に対しては、「誘導性リアクタタンス=ωL（単位は Ω）」で、「電圧は、電流に対して位相が90°進む」のでインピーダンスは「jωL」になります。

「コンデンサー（容量性負荷）」の「キャパシタンス：C」に対しては、「容量性リアクタタンス=1/ωC（単位は Ω）」で、「電圧は、電流に対して位相が90°遅れる」のでインピーダンスは「1/jωC = -j/ωC」になります。

あとは、この「インピーダンス：Z」を使って、「オームの法則」と同じ計算をすればよいのです。この計算ができるように、「複素数表記にしたということなのです。
　　V = Z*I　（直流のオームの法則は V=R*I ）

これは「取り決め」なので、「そういうものとして計算するのだ」ということをよく理解してください。物理的な実態が「複素数」というわけではありません。


これでやってみれば
　抵抗：R=80 Ω
　コイル：ZL = jω * 200*10^(-3)
　コンデンサー：Zc = -j/[ ω * 100*10^(-6) ]

直列のインピーダンスの合計は、直流での「抵抗の直列接続」と同じで、加算すればよく
　Z = R + ZL + Zc = 80 + j{ ω * 200*10^(-3) - 1/[ ω * 100*10^(-6) ] }

100V、周波数 50Hz の電圧 V に対して流れる電流 I は、ω=2パイf =100パイ≒314 として
　I = V/Z = 100/Z
を数値計算すればよいのです。結果は「複素数」になるので、「電圧 100V」の正弦波とは位相のずれた正弦波になるとということです。計算はけっこう面倒くさいです。

計算はご自分で。