複素関数論のガウス平面における微分

教科書では”ガウス平面における微分は微分の方向に依存しない”ということが要請されます。

そこから、正則とかコーシーリーマンの関係が誘導されると思います。

微分が方向に依存しない場合だけを考えましょう、ということと思われます。その理由は何でしょうか。次の理論的なステップに移れないとか、何か問題があるからだと思いますが。そんなこと（微分の方向性依存云々は）どうでもいいじゃないか、ではなく、”それではダメだ”強く言われているわけなのでその理由を知りたいと思うのですが。

実関数の部分も近づき方（線上）の向き（正から近づく、負から近づく）に依存しないということですね。それがいいかげんだったら大きな問題となる、ということだと思いますが。

よろしくお願いします。

No.5 回答者： uyama33 回答日時： 2017/04/20 18:03

かなり困るのは

F(ｘ)+G(ｘ）の微分係数を考えるときは
２つの関数に対しては同一方向からの微分係数を考えるのだろうが

別々に求めた微分係数の場合はそれぞれ別の方向からの極限値を考えているので、
それらの和をとることができない。

これは、別々に微分した関数の四則演算が出来なくなってしまうので
とっても困ります。
これを避けたほうが賢明でしょう。

No.4 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/19 07:33

Ｎｏ２です(^^)

まず、１変数の実関数に戻って、近づけ方に依存するように微分を定義し直してみて下さい(^^;)
そうして、「次の理論的なステップに移れないとか、何か問題があるからだと思いますが」を探してみてはいかがでしょう？
今まで、１変数の実関数の微分は普通に受け入れてきたと思うのですが、「何故、微分の定義はこうでなければならないのか？」を考えるということです。
適切な言い方ではないと思うのですが、複素関数の微分は、１変数の実関数の微分を拡張したものですから、
１変数の実関数で、微分の定義を変えたことで”問題”が見つかれば、複素関数の微分の定義を考える上で、良いヒントになると思いますよ(^^)

この回答へのお礼

ずっとお付き合い頂きありがとうございます。

”そうして、「次の理論的なステップ ...すが」を探してみてはいかがでしょう？" なのですが、これは”複素平面で微分が方向に依存しない”ことを何の抵抗もなく受け入れている人は、立板に水のごとく説明してくれるはずだと思っているのですが。私はここで足がもつれて倒れてしまうわけです。

このことを”当然じゃん”と思っている人にスラスラと答えてもらいたいと思いました。そしてそれができなかったとしたら、このことをどのようにして記憶の空間にマッピングしたのか教えてもらいたいのです。

という風に、私は理屈っぽいのです。数学には天下り（公務員じゃなくて）という言葉ありますね。これは真実なのだから額面どおり疑いなく受け取れ、ということです。真実性のチェックに一生の時間がかかるからそんなのやめときな、ということもあるかもですね。数学は無限だけど、人生は有限だから。

お礼日時：2017/04/19 21:20

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2017/04/19 06:46

微分係数が複雑だと、

級数展開したときの係数が複雑になりすぎて手に負えないから
方向依存性の無い場合についてだけ考えている。

ということだと思っています。

この回答へのお礼

回答有り難うございます。

コーシーリーマンの関係式は”そうでなければならない”、という意味ではなく、理論を深入りさせないための予防策ということでしょうか。
コーシーリーマンの関係式は数学だけではなく、流体力学とか実用的な解析にも用いられるようです。複雑に見える実際の物理現象でもコーシーリーマンの関係を超えることはない、ということになりますね。コーシーリーマンの関係式では説明できない物理現象があり得るでしょうか。

お礼日時：2017/04/19 21:08

No.2 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/18 19:23

う～ん、数学の定義にも、”金は斜め後ろに行けない”と同じような所がありますよね(^^;)

例えば、１＋１＝２ は何故？って訊かれたら、どう答えますか？
粘土で出来た玉を使って、「ここに粘土玉が１つ、その横に粘土玉を１つ並べると、全部で２つになるよねぇ～」って説明したとします。
ところが、説明を受けた相手は、粘土玉をグシャってくっつけて、１個の大きな粘土玉を作り、「なんだ？粘土玉は１つじゃねぇ～か！」って主張したらどうしますか？(^^;)
粘土玉の大きさが違うとか、まあ、いろいろと言えると思うのですが、「個数」に注目している限り１＋１＝１は正しくなってしまいます(^^A)
・・・あ、実は、これ、ソクラテスの話です(^^;)
でも、１＋１＝１を認めてしまうと、矛盾というより、数学自体が壊れてしまいますよね。
・・・場合によって、１＋１＝１ であったり、１＋１＝２ であったり、場合によっては１＋１＝３（粘土玉を３つに分割）なんてのは、もはや数学とすら言えませんね(。。;)
もしかしたら、体系としては無矛盾にできるのかも知れませんが、ど～考えてもこれはおかしい・・・まあ、もっとも、１＋１＝２が定義だと言っているわけではないのですが(^^;)

まあ、とにかく、複素関数に戻ると、y=f(x)ではxが１次元だから、近づける方法は正方向から近づけるものと負方向から近づけるものしかない・・・
でも、複素数の場合はz=x+yi だから（複素）平面上を近づける事になるので、今回は色々な方向から近づける方法があるから、あらゆる方向でって”拡張”されるたって話で、
ある意味、とても自然な事に感じます(^^)

話は変わりますが、
z= x+yi として f(z)=z*　　z*:zの複素共役
は正則ではありません。それは、複素関数の微分の極限計算が、方向によって変わってしまうからです(◎◎！)・・・やってみて下さい。
でも、この方向によって変わってしまうものを新たに”微分”と定義することは可能ですね。
しかし、これを”微分”と定義すると、コーシーリーマン方程式は”微分可能”であるための必要十分条件ではなくなり、
微分の公式は、常に条件付きで扱うことになりますよね(^^;)
でも、この体系で矛盾がどこに出てくるかを調べるのは大変な事なのではないでしょうか？・・・もしかしたら、無矛盾かもしれません。
また、εーδ論法を使ってみて下さい（複素解析の本のどこかに出ていると思います）。
複素平面上で動くzに対して、”近づけ方”を排除したはずのεーδ論法に近づけ方を導入するのは・・・なんか変な気がします(^^;)

もしかしたら、複素関数の微分を方向によらないとしたことで、見かけ上、多くの微分できない関数が現れる事を気になさっているのかも知れませんね。
でも、実関数の場合でも、微分できない関数なんて、無限に作り出す事ができますよね(^^)

何だか、長くなりましたが、参考にならなくてゴメンなさいm(_ _)m

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。ちょっと大げさになってしまいますが、数学との向き合い方、数学の勉強の仕方と根本的に関係するところだと思います。とにかく、”微分は方向に依存して変わってはダメだ”ということを記憶してその規則を墨守する、という風に決め込んだとします。数学とはそのようなものだと。とすると、数学の本などはそのような風にして丸暗記していくものだということを認めたような気持ちになってしまいます。
逆に数学の根幹の部分は一種のルール（1＋１＝２とか）だけれど、それから演繹的に派生していく事実（定理）もあるはずですね。それでも演繹的な説明（証明）が面倒なので、”絶対間違ってないから丸暗記してね、その方が効率的だし、キミにとっても有益だから”という風に丸暗記する事項があることを否定しません。しかし、その場合でもあってもそうなる理由（＝複素平面で微分が方向によらないことの理由）があるに違いないと思っているのですが。そうでないと数学をいままでどおりに尊敬することができなくなってしまいます。

お礼日時：2017/04/19 01:58

No.1 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/17 18:55

そんなに複雑な問題では無いと思いますよ(^^;)

実関数の場合でも、正方向から近づけた極限と負方向から近づけた極限が異なる場合は微分不可能ですよね(－＿－)
y=f(x) では、x軸という１次元上をxがある値に近づく場合、正方向から近づく場合と負方向から近づく場合でyの極限が一致しないと微分できない・・・ですね(^^)
言い換えると、１次元上のあらゆる（？）方向からxを近づけても極限が一致するって事が微分できる条件の１つですね。
複素関数の場合は (x,yi) という複素平面上をzが動くのだから、zは２次元上を動く
・・・だから、複素関数が微分できる場合（正則）１次元の場合と同様にあらゆる方向から考えた極限が一致しなければならなって事だと思います(^^)
それに、方向によって、導関数や微係数が異なるというのは、直感的に微分になっていないのではないでしょうか？(^^;)
曲面を扱うためにf(x,y)を考えて、その偏微分を考えてみても同様ですよね(－＿－)
また、微分に方向の制約があると、様々な所でそれが足かせになってしまい、とても一般論を考える事はできないでしょうねぇ～
・・・だって、近づける方法は無限にあるのですから(^^;)

参考にならなかったらゴメンなさい<(_ _)>

この回答へのお礼

回答有り難うございます。複素数の前にf(x)の微分の場合、x=aで微分できるとは、a-ε、a+εの ε→0でのあの関数の極限が一致しなければならない、ということでした。それが実現できないと微分できない（折れ線とか断線）ということになるわけですが、それを片方だけでやったら、”ほら、ここで矛盾が起きるでしょうとか、ここで破綻したね”ということが示せないでしょうか。もし、”それが微分の定義である”、と言われたら、数学は将棋と同じで、”金は斜め後ろに行けない”　ということと同じになりますね。さすがにその理由を聞くことはあまり意味がないと思いますが。だから、微分の定義の由来はどこかにあると思うのです。εδのあの論法から来ているのではないかと思いますが。

お礼日時：2017/04/18 15:28