高校1年の数学の2次関数の最大･最小の問題です。答えと解き方を教えてください！至急お願いします。

高校1年の数学の2次関数の最大･最小の問題です。答えと解き方を教えてください！至急お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/27 05:07

x,y共に0以上なので、z=xyの最小値は0です。

z=xyのx,yを、2x+y=1を利用して、
どちらか片方に統一しましょう。

x=(1-y)/2を代入するなら
z=(-y^2+y)/2
=-(y-(1/2)y*2+(1/2)^2-(1/2)^2)/2
=-((y-1/2)^2-1/4)/2
=-(1/2)(y-1/2)^2+1/8
y=1/2の時z=1/8

y=1-2xを代入するなら
z=-2x^2+x
=-2(x^2-(1/2)x)
=-2(x^2-(1/4)x*2+(1/4)^2-(1/4)^2)
=-2((x-1/4)^2-1/16)
=-2(x-1/4)^2+1/8
x=1/4の時z=1/8

どちらの場合もy^2,x^2の係数が負であるので、上に凸のグラフとなる。
よってz=1/8が最大値です。

No.3 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2017/04/26 21:31

ありゃま、すみません。

訂正ありがとうございます。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/04/26 20:41

x≧0、y≧0 なので、z=xy ≧0　であり、最大値が -1/8 ということはないでしょう。

>#1 さん

計算式に間違いがありますね。

z = x(-2x + 1)
= -2x² + ｘ
= -2(x - 1/4)² + 1/8

ですから、最大値は x=1/4, y=1/2 のときに z=1/8 ですね。
最小値は x=0, y=1 または x=1/2, y=0 のときで z=0

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2017/04/26 20:12

2x+y=1

y=-2x+1
Y≧0 ⇒　-2ｘ+1≧0
2x≦1
0≦x≦1/2



z=x(-2x+1)
=-2x²+ｘ
=-2(x-1/4)²-1/8

２字曲線だから、、、
最大値はｘ＝1/4の時のzの値（-1/8かな？）
最少はｘ＝0とx=1/2でｚの値を検証して少ないほう（というか、この場合は両方同じになりそうだね。）