物理の近似の使うところについて

いま物理の連続体について勉強しています。
ここで参考書に

連続体をn個の要素に分割して、1からnまで番号を付ける。そしてi番目の要素の体積をΔVi、要素内のある一点の位置ベクトルをriとする。riにおける連続体の密度をρ(ri)とすると、i番目の要素の質量ΔMiは、
ΔMi≈ρ(ri)ΔVi

となっているのですが、どうしてここで近似の記号になっているかがいまいちわかりません。
教えてください！

質問者からの補足コメント

• 距離を速度の積分で求めたように、このΔViの中でもさらに密度の分布に違いがあるからですか？
  
  つまり正確性に欠けるということで正しいですか？

    補足日時：2017/05/07 00:52

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2017/05/07 02:16

ρ(ri)は、要素内の一点の密度ですから、要素の密度とは等しくなりません。

ただし、要素の分割を細かくすれば、それは要素の密度に近づいていくでしょう。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/07 10:35

おっしゃる通り、「riにおける連続体の密度をρ(ri)」としたら、r(i+1) の密度はρ(ri)ではありません。

従って「ri～r(i+1) の密度がρ(ri)と仮定する」という条件下で
　　ΔMi≈ρ(ri)ΔVi
が成立します。

これを Δr = r(i+1) - ri を「→0」にした極限では「等式」として成立します。
要するに「積分としての考え方」ということです。最終的な解を「積分」で求めるときの、常套的な考え方のステップです。

No.3 回答者： fedora777 回答日時： 2017/05/11 00:04

専門家です。

もっともな疑問だと思います。

ρ(ri)がi番目の体積要素の「平均密度」か「その点の密度」で違いますね。

「平均密度」ならば、近似ではないです。
「点の密度」ならば、近似になります。

nを無限大にすると「点の密度」でも近似ではなくなります。

自分の感覚だと、「平均密度」を使って定式化して、近似なしのほうが
数学的にきれいに記述できると思います。

結局は、「nは十分大きい」と仮定するのですから、はじめから、
「riにおける連続体の密度」
ではなく
「riの体積要素における連続体の平均密度」
として定式化したほうがわかりやすいでしょう。