二次関数の最大値と最小値についてです

高校二年生なのですが、この問題が解けず、苦戦しています。力を貸してください

二次関数f(x)＝x２乗－2ax＋b（a，bは定数、a＞0）があり、f(x)の最小値は2である。

0≦x≦2におけるf(x)の最大値と最小値の差が3であるようなaの値をお願いします

No.1 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/16 21:16

f(x) = x^2 - 2ax + b = (x - a)^2 + b - a^2 としてみて、

(A-1) 0 < a < 1,
(A-2) 1 < a < 2,
(B) a > 2
の三通りに場合分けして考えてみる。

(A-1) の場合、f(2) が最大値、f(a) が最小値
(A-2) の場合、f(0) が最大値、f(a) が最小値
(B) の場合、 f(0) が最大値、f(2) が最小値

のように思われる。

答えまで至っていませんが、このような方針でどうでしょうか？

No.2 回答者： tosa0824 回答日時： 2017/05/16 21:32

f(x)=x^2-2ax+b

=(x^2-2ax+a^2)-a^2+b
=(x-a)^2-a^2+b
よって、f(x)の最小値は-a^2+bである。
よって、-a^2+b=2…①
この曲線は頂点の座標は(a,-a^2+b)の、下に凸の放物線である。
a>0より、aの値によって場合分けする。
(1)0≦a≦1のとき、頂点が最小値、f(2)が最大値
(2)1≦a≦2のとき、頂点が最小値、f(0)が最大値
(3)2<aのとき、f(2)が最小値、f(0)が最大値

(1) f(2)=4-4a+b=5 より、4a-b=-1…②
①+②より、-a^2+4a=1
↔a^2-4a+1=0
↔a=2±√(2^2-1×1)
↔a=2±√3
0≦a≦1なので、a=2-√3
(2)f(0)=b=5 。①より、a^2=3
↔a=±√3
1≦a≦2なので、a=√3

(3) f(2)=4-4a+b…③
f(0)=b…④
題意より④-③=3なので、
b-(4-4a+b)=3
↔4a=7
↔a=7/4だが、2<aなので、題意を満たさない。

よって答えは
a=2-√3, √3 の２つ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/17 10:33

既に解答は出ているようなので、今後のことを考えて対応策を。

（１）y = f(x) の二次関数のグラフが書けること。
　そのグラフの特徴（上下どちらに凸か、頂点・軸の位置など）が分かること。

（２）そのグラフの形と x の変域から、最大・最小が、 x のいくつのときに、グラフのどの部分になるかを判定する。
　・x の変域に「頂点」が含まれれば、それが最大または最小。
　・x の変域に「頂点」が含まれなければ、 f(x) はその変域で「単調増加」または「単調減少」。
　・x の変域のどちらかの境界で、最大または最小。どちらの境界かは、頂点（軸）の位置に依存する。

（３）f(x) に未知の定数が含まれる場合には、各々の条件で場合分けする。

いくつかの事例で、自分の手でやってみれば、コツが分かると思います。「自分の手で解いてみる」（自分で動いて汗をかいてみる）ことが大事です。「見ているだけ」で分かったつもりになっても、それでは自分のものにはなりませんから。