積分 大小関係

大学数学です。
f.gが［a.b］において連続でf≦gかつ恒等的に等しくなければ、∮［a→b］f(x)dx<∮［a→b］g(x)dxを示せという問題です。
∮［a→b］f(x)dx≦∮［a→b］g(x)dxまでは示せたのですが、この等号を外すところで詰まりました。
グラフ的に書けば理解は出来るのですが、それをどう式に表すかで困っています。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/18 15:11

g(x)-f(x)=c>0

となるx0∈[a,b]が存在すると仮定して矛盾を導けばよいのではないでしょうか。

f(x),g(x)の連続性から(x0-δ,x0+δ)∩[a,b]の領域内のxでg(x)-f(x)>c/2が成り立つδが存在します。

積分領域を(x0-δ,x0+δ)∩[a,b]とそれ以外に切り分け、前者の領域での積分の値はとある正の値より大きくなります。後者が0以上であることは証明できているわけですからこの積分の値は0とはなり得ないことが示されます。

こんな感じではないでしょうか。

この回答へのお礼

補足も含め詳しい回答ありがとうございます。
回答を参考にさせてもらいなんとか考えてみたいと思います。

お礼日時：2017/05/18 17:56

No.5 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/05/19 20:07

点で取るとわかりにくいから区間で取ってみるとか…

恒等的に等しくないということなので、
[a,b]においてf<gとなる[a',b']が存在する（a≦a'<b'≦b）
このとき ∫[a'→b']f(x)dx<∫[a'→b']g(x)dx

連続性から
∫[a→b]g(x)dx -∫[a→b]f(x)dx
=∫[a→a']g(x)dx +∫[a'→b']g(x)dx +∫[b'→b]g(x)dx
-{∫[a→a']f(x)dx +∫[a'→b']f(x)dx +∫[b'→b]f(x)dx}
=∫[a→a']g(x)dx -∫[a→a']f(x)dx (≧0)
+∫[a'→b']g(x)dx -∫[a'→b']f(x)dx (>0)
+∫[b'→b]g(x)dx -∫[b'→b]f(x)dx (≧0)
>0


問題はいきなり区間を取ってよかったかどうかですね。
No.1の方のようにcをとって、それを含む[a',b'] (a'<c<b')
を決めたほうが良かったのかな？
現役を離れて大分経つので、その辺は忘れてしまいました(^^;

この回答へのお礼

なるほど。
点で考えずに範囲で考えるのは盲点でした…
回答ありがとうございます。

お礼日時：2017/05/22 15:06

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/18 17:26

#2です。

ちょっと修正を。

>積分領域を(x0-δ,x0+δ)∩[a,b]とそれ以外に切り分け、前者の領域での積分の値はとある正の値より大きくなります。後者が0以上であることは証明できているわけですからこの積分の値は0とはなり得ないことが示されます。

ここで出てくる"積分の値"は"積分の値の差"です。
もしくは事前に∫[a→b](g(x)-f(x))dxについての議論に変えてしまってもよいでしょう。

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/05/18 15:44

#2です。

いきなり最初で入力ミスがありました。

g(x)-f(x)=c>0
となるx0∈[a,b]が存在すると仮定して矛盾を導けばよいのではないでしょうか。

一行目の式は
g(x0)-f(x0)=c>0
の間違いです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/05/18 15:04

恒等的に等しくないってことから, f(c) < g(c) となる c (a ≦ c ≦ b) が存在する. そして f, g の連

続性から c の近傍で f(x) < g(x) となる, かな.

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございます。
なんとなくは理解できるのですが、連続性が自分はまだ勉強不足で文字に起こせなくて…

お礼日時：2017/05/18 17:55