高校の知識で解説してください

高校の知識で解説してください

No.1 ベストアンサー 回答者： Ginzang 回答日時： 2017/06/03 02:33

まず、

1/(2!) = (2-1)/(2!) = 2/(2!) - 1/(2!) = 1/(1!) - 1/(2!)
2/(3!) = (3-1)/(3!) = 3/(3!) - 1/(3!) = 1/(2!) - 1/(3!)
などに注意すると、第n群の和は、
1 + 1/(2!) + 2/(3!) + ... + (n-2)/((n-1)!) + (n-1)/(n!)
= 1 + {1/(1!) - 1/(2!)} + {1/(2!) - 1/(3!)} + ...
+ {1/((n-2)!) - 1/((n-1)!)} + {1/((n-1)!) - 1/(n!)}
= 1 + 1/(1!) + {-1/(2!) + 1/(2!)} + {-1/(3!) + ... } + ...
+ { ... + 1/((n-2)!)} + {-1/((n-1)!) + 1/((n-1)!)} - 1/(n!)
= 2 - 1/(n!)
となる。最後の式変形は、中括弧{}の中が全て相殺され0になることによる。
よって、[1]=2、[2]=(3)。

次に、第1群から第n群までに含まれる数列の要素の個数は、
1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 * n(n+1)
なのだが、この個数が初めて500を超えるのは、
1/2 * 31 * 32 = 496
1/2 * 32 * 33 = 528
より、n=32のときである。これから、a_500が第32群に含まれることが分かる。
第32群の第1項は a_497 = 1 であり、この後順に、
a_498 = 1/(2!)
a_499 = 2/(3!)
a_500 = 3/(4!)
となるのが分かる。
よって、[3]=(3)。