三角比の問題です。 AB+BC+CA=12の時AB＝5 cos cの範囲を求めよ 教えて下さい

三角比の問題です。
AB+BC+CA=12の時AB＝5
cos cの範囲を求めよ
教えて下さい

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/06/12 15:50

余弦定理を使う。

AB²=BC²+CA²-2BC･CA･cosC
cosC=(BC²+CA²-AB²)/2BC･CA＝(BC²+CA²-25)/2BC･CA

BC²+CA²=(BC+CA)²-2BC･CA
BC+CA=12-5=7だから、BC²+CA²=49-2BC･CA

これ等を代入すると

cosC=(49-2BC･CA-25)/2BC･CA=24/2BC･CA - 1
=12/BC･CA - 1

BC･CAを最大にすると、cosCは最小
BC･CAを最小にすると、cosCは最大

見易くする為にBCをa、CAをbと置く。

a+b=7だから
ab=a(7-a)=-a²+7a=-(a-7/2)²+49/4{0<a<7}

a=7/2の時、abは最大値49/4
a=0又は7の時、最小値０だが0<a<7だから最小値はに限りなく0に近づく。

これにより
cosCの最小値は12/(49/4) -1 =-1/49

-1/49≦cosC

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます！

お礼日時：2017/06/12 16:17