偏微分について（熱力学）

大学一年生です。

dU=TdS-PdVを考える。

このとき、S(T,V)と考えて、UをT,Vを従属変数とした関数として考え、
Tを固定して、Vで偏微分すると、

(∂U/∂V)_T=T*(∂S/∂V)_T-P(∂V/∂V)_T=T*(∂S/∂V)_T-P
が得られる、とのことなのですが、

ここで、TdSを第一項、-PdVを第二項と呼ぶことにします。

このとき、Tは固定されているので、第一項に関して、Tが定数として、外に出ることはよくわかります。
しかしながら、第二項に関して、P(S,V)=P(S(T,V),V)=P(T,V)と考えると、PにはVの依存性があるように思います。
しかしながら、実際に偏微分するときには、まるで定数かのように、偏微分の外側に出ています。
なぜ、(∂PdV/∂V)_T=P*(∂V/∂V)_Tとなるのですか？

より一般化して質問すると、
z=f(x,y)を考えるとき
fの全微分形式は
df=(∂f/∂x)_y*dx+(∂f/∂y)_x*dyと書くことが出来、
これをz固定してxで偏微分することによって、
(∂f/∂x)_z=(∂f/∂x)_y*(∂x/∂x)_z+(∂f/∂y)_x*(∂y/∂x)_z
と書ける、とあります。
これに関して、先と同様に第一項、第二項と考えてみると、
第一項に関して、(∂f/∂x)_yには当然xの依存性が存在する可能性があるわけであって、なぜ単純にdxを割って(∂x/∂x)_zと出来るのか分かりません。
すなわち、例えば、2xy*dxをxで偏微分せよ、と言われているような気分になり、このとき、2xyを単に定数のように扱ってよい理由が今一釈然としません。(2xyは適当に作っただけなので意図はありません。)
第二項に関しても同様です。

様々なサイトを閲覧したり、参考書も読んでみたのですが、Δの形式で書いてからΔで割ってΔ→0の極限をとる、のような説明ばかりであまり納得できませんでした。

ご教示頂けませんでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 慣れていないもので、最初にお礼の欄を使ってしまいました。
  申し訳ありません。。。
  
  今一度考え直してみたのですが、
  (∂f/∂x)_yをz固定でxで偏微分する際には、
  元々(∂f/∂x)_yの時点でyが固定されており、かつ偏微分の際にzが固定されることによって、
  自動的にxの値も固定されるということですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/28 02:20

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2017/06/27 18:43

う～ん、

dU=TdS-PdV　というのは、この系がある状態からどんな方向にごくわずか変化しても
その微小変化量の間に成り立つ関係をあらわしているわけです。
で、この両辺をdVで割れば
dU/dV＝TdS/dV－Ｐ　で
この式もどんな微小量変化にたいしても成立つ関係です。
ということはＴを一定にしといて、Ｖを微小変化させてもなりたつわけですが、
dU/dV＝TdS/dV－Ｐ　
のままでは、Ｔを一定にしといて、Ｖを微小変化させたというのがわからないので
dU/dV、dS/dV　をそれぞれ(∂U/∂V)_T　と　(∂S/∂V)_T　でおきかえるわけです。

とまあ、物理的には、こういう解釈です。
なので、dU=TdS-PdVから、Tを固定して、Vで偏微分する、という表現は
この解釈をさしているものと思います。

この回答へのお礼

やはり、それが一般的な考え方みたいですね。
ありがとうございます。

お礼日時：2017/06/28 02:04

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/06/28 01:38

直感的な理解をしたいのか、ちゃんと真面目に理解したいのか、によりますね。

直感的な理解をしたいのであれば、＃１さんみたいな話になります。
df=(∂f/∂x)_y*dx+(∂f/∂y)_x*dy
は、微小なxの変化と、微小のyの変化によって、fがどのように微小変化するかの関係を表した式です。
ある x, y を固定したとき、(∂f/∂x)_y や (∂f/∂y)_x は、定数です。
したがって、両辺をdxで割って、dx→0の極限をとれば、
df/dx=(∂f/∂x)_y + (∂f/∂y)_x*dy/dx
みたいな式がでてくるでしょう。
まさに、「Δの形式で書いてからΔで割ってΔ→0の極限をとる」と言っているだけですけど。。
ポイントは、最初に
df/dx=(∂f/∂x)_y + (∂f/∂y)_x*dy/dx
の式で、x, y をある値に固定（xに定数x'、yに定数y'を代入したと思えばわかりやすいのか）したので、
当然、(∂f/∂x)_y や、(∂f/∂y)_x は単なる定数になっている。
で、その上で、Δx = x - x' 、Δy = y - y' を考えて、Δ→0の極限をとった、ということですかね。

もし、上の説明ではやっぱり納得できない、ということだとすると、
質問者は上のような直感的な説明（≒ある種のゴマカシが入っている説明）では納得できない、ということになりますね。
となれば、ゴマカシの入った説明で理解した気分になるんではなくて、真面目に理解するしかありません。
で、ちゃんと真面目に理解したいということだと、そもそも、全微分の式
df=(∂f/∂x)_y*dx+(∂f/∂y)_x*dy
にでてくる、むき出しの df とか、dxとかいう記号はいったい何なのか、というのを定義しないと話が始まりません。
（高校数学では、dy/dxの形はあっても、単体の dx みたいな記号は絶対にでてこなったはずです）
これは、例えば、数学の「微分幾何」とかいった名前の授業をとれば、ちゃんと習うことになるはずです。（工学部などだと履修しない人も多いでしょうが）

この回答へのお礼

ありがとうございます。

自分が引っかかっているところが見えてきた気がします。
＞(∂f/∂x)_y や、(∂f/∂y)_x は単なる定数になっている。
というところが納得できないのですが、
例えば(∂f/∂x)_y に関していえば、
yを固定して、xを動かしたときのfの微小変化を見ているのに、定数になる理由がよく分かりません（xは固定されていないと思ってしまいます）。

例えば、原点を通る平面を考えるときには、
z=(∂f/∂x)_y*x+(∂f/∂y)_x*y
とはならず、実際には(∂f/∂x)_y|x=0,y=0　(∂f/∂y)_x|x=0,y=0
という風に値を代入して考えると思うのです。。。


ご回答にあります、dy/dxの分配については昔から良くわかっておりません。
そこも、わからなくなっている要因の一つだとは思うのですがそこは今は心にとどめておきたいと思います。。。

もしよろしければ、上の件についてご教示頂ければ幸いです。

お礼日時：2017/06/28 02:03

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/06/28 08:51

＞元々(∂f/∂x)_yの時点でyが固定されており、かつ偏微分の際にzが固定されることによって、

＞自動的にxの値も固定されるということですか？
違います。
単に、(∂f/∂x)_y = f(x, y) と書いたとして、x=x'（定数）、y=y'（定数）を代入したら、f(x', y')という定数になるといっているだけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

代入したら定数になることは分かります。
しかし、質問の操作の中で何が代入する、ないしはxとyの値を定めるものとなっているのかが分かりません…。

お礼日時：2017/06/28 12:52