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次の単振り子の問題がよくわかりません。
単振り子について、接線方向の運動式をたて、糸と鉛直線のなす角θが十分に小さい条件の下で、θ、および、質点の速度v、加速度aを時刻tの関数として求めよ。ただし、初期条件としてt=0のとき、θ=θ0(>0)、v=0とせよ。

「次の単振り子の問題がよくわかりません。 」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • なす角が十分に小さいということは、0の真下当たりのことですか?また付け忘れていましたが単振り子については習っていないので、教科書などを読んでもどうゆうかんじにすればいいのか分かりません。

      補足日時:2017/06/29 06:18
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A 回答 (3件)

単振り子では、運動方程式 F = ma の


・接線方向の加速度:a(t) = L * d²θ/dt²  (←振り子の長さは、数字の1と紛らわしいので大文字の「L」で書きます)
・接線方向に働く力:-mg*sinθ (重力の接線方向成分)
ということですから、振り子の接線方向の運動方程式は
 m * L * d²θ/dt² = -mg*sinθ   ①
になります。

近似解を求めるには、θ ≒ 0 では sinθ ≒ θ と近似できることを利用して(これが「なす角が小さい」ということです)、①を
 m * L * d²θ/dt² ≒ -mg*θ    ②
に近似します。この微分方程式を解くと、一般解は
 θ(t) = C1 * sin(ωt) + C2 * cos(ωt)     ③
(ただし ω= √(g/L、C1、 C2 は任意の定数)

これに与えられた初期条件を適用して、
t=0のとき、θ=θ0(>0)なので
 θ(0) = C2 = θ0   ④
t=0のとき、v=0 なので
 v(t) = L * dθ/dt = C1*ω*cos(ωt) - C2*ω*sin(ωt)
より
 v(0) = C1*ω = 0
ω≠0 なので C1 = 0    ⑤

以上の初期条件から、③は
 θ(t) = θ0 * cos(ωt)     ⑥
となります。

よって、⑥より
 v(t) = L * dθ/dt = - L*θ0 * ω * sin(ωt) = -θ0 * √(gL) * sin[ (√(g/L) *t ]
 a(t) = L * d²θ/dt² = -L*θ0 * ω^2 * cos(ωt)= -θ0 * g * cos[ (√(g/L) *t ]
となります。

単振り子の近似解、厳密解の求め方は、検索すればいくらでも出てきます。たとえば:
https://www.sit.ac.jp/user/konishi/JPN/L_Support …

もし、高校物理レベルで微積分が使えないなら、こんなサイトを参考に。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/tann/tann …
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「単振り子については習っていない」にしても, このような問題が出るということは運動方程式については知っていることが前提のはずです.



まず運動方程式を作り, その後「糸と鉛直線のなす角θが十分に小さい」という条件で近似すればいいですよ.
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どこが「よくわからない」のでしょうか?

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