「２次方程式の解が少なくとも一つがmより大きい」の解法について

y=f(x)という2次関数があり、下に凸な放物線を描く。
f(x)=0の解の少なくとも一つの解がｍより大きい場合の解法として、

子供の塾では、
[Ⅰ]
本解として
①2解ともにmよりおおきい⇔D≧０、軸>m、f(m)>0
②mをまたいで2解持つ⇔ｆ(m)＜0
③1解がmで他解がmより大きい⇔f(m)=0、かつ、軸＞ｍ
とし、①または②または③を求める。

別解として
①実数解を持つ⇔D≧0
②「両解ともにm以下」ではない⇔「軸≦ｍ、かつ、f(m)≧0」ではない
とし、①かつ②を求める。

「端点mの処理をする」vs「補集合を考慮する」で、正直どっちもや~こしいなぁと思っておりました。
殆どの受験参考書では、上記どちらかを、王道な解法として紹介しているように思われます。


ところが、ある参考書には
[Ⅱ]
①軸≦m、f(m)<0
②軸>m、D≧０、f(m)>0
とし、①または②を求める。
という解法が載っていました。

同様の解法は　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/solution/ …　にも掲載されいて、「軸の位置によって場合分けする方が実戦的」「予備校などでは、この別解の方で教えられている」とあります。

[Ⅱ]の解法は[Ⅰ]に比して、
(A)端点ｍの処理が甘い印象をうける。
(B)軸の2パターン場合分けで、分かりよい。
(C)自分なりに考えると、[Ⅱ]の解法でもよいように感じる。

しかし、
・そもそも数学的に正しいかどうか微妙な気もする
・王道でない解法を実戦で使うのは、危ないような気がする
・簡単な解法であれば、もっと喧伝されていて然るべしとも思う

上記[Ⅱ]の解法の妥当性とか、適用性とかについてお分かりの方がおられましたら、よろしくお願い申しげます。

No.1 ベストアンサー 回答者： anshinyuusou 回答日時： 2017/06/30 11:31

[Ⅱ]の解法の妥当性について考えます。

一つ含まないといけない条件があります。

「軸>mであり、f(m)<0であるもの」です。

例題「２次方程式x^2-2kx+k-1=0の解が少なくとも１つが0より大きい時、kの取りうる値の範囲を求めよ」

この時、[Ⅰ]の方法と[Ⅱ]の方法で解が異なりますからやってみてください。

含まれないといけない範囲が[Ⅱ]では含まれていませんからね。

この回答へのお礼

明確なご回答いただきありがとうございます！

例題を解くと[Ⅰ]だとｋは全実数、[Ⅱ]だとｋ≦0、または、k>1
となり、[Ⅱ]では「軸>mであり、f(m)≦0であるもの」の部分が欠落してることが、よく理解できました。

したがって、王道解法が王道である所以も、納得できました。

今後とも、よろしくお願いします。

お礼日時：2017/06/30 21:33

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/30 14:37

グラフを書けばわかるでしょう！判別式の条件付きで

両解ともの場合は、f(m)＞0かつ軸＞m ですが、確かに
片解の場合は、f(m)＜0だけで軸の条件は蛇足でしょう！