以下の問題を、合同式で考える方法を教えて下さい。

問題
画像の(3)
a,b は正の整数とする、
a^3-b^3は、3の倍数ならば9の倍数である

宜しく御願いします。

「整数問題 大至急」の質問画像

A 回答 (5件)

a³-b³が3の倍数ならば


0≡a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)=(a-b){(a-b)²+3ab}=(a-b)³+3ab(a-b)≡(a-b)³(mod3)
より、(a-b)³が3の倍数になり、3が素数なのでa-bが3の倍数になる。
a-bが3の倍数になるなら、a³-b³が9の倍数になるのは、きのう示した通りです。
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この回答へのお礼

昨日といい、今日といい、ベストな解法を提示していただき、心から感謝いたします。

minamino

お礼日時:2017/07/17 14:36

No.2です。


先ほどの証明中、(a-b)³≡0(mod3)ならばa-b≡0(mod3)は、つぎのようにしてもでます:
どんな整数nでも3で割った余りは0、1、2だからmod3で
n≡0、1、2 のいずれかです。したがってmod3でn³≡0、1、2³=8≡2となるので
3乗が3の倍数なら、もとの数が3の倍数です。
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(2)


(a-b)≡0(mod3)
両辺を2乗すると
(a-b)²≡a²-2ab+b²≡0(mod3)

a³-b³≡(a-b){(a-b)²+3ab}

(a-b)²≡0(mod3)、3ab≡0(mod3)より
(a-b)²+3ab≡0(mod3)

∴a³-b³≡0(mod3)・0(mod3)≡0(mod9)

(3)
a³-b³=(a-b){(a-b)²+3ab}と書ける。また、3は素数なので、

a³-b³≡0(mod3)なら
(a-b)≡0(mod3) 又は(a-b)²+3ab≡0(mod3)

・(a-b)≡0(mod3)の場合
 両辺を2乗すると(a-b)²≡0(mod3)、3ab≡0(mod3)だから
 ∴a³-b³≡0(mod3)・0(mod3)≡0(mod9)

・(a-b)²+3ab≡0(mod3)の場合
 3ab≡0(mod3)を代入すると(a-b)²≡0(mod3)
 平方根をとると(a-b)≡0(mod3)
 ∴a³-b³≡0(mod3)・0(mod3)≡0(mod9)
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a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=(a-b){(a-b)^2+3ab)}=(a-b)^3+3ab(a-b)


これが3の倍数であるなら(a-b)^3が3の倍数となります。
(a-b)^3が3の倍数⇔a-bが3の倍数
a-bが3の倍数であれば(2)からa^3-b^3は9の倍数となります。
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この回答へのお礼

rnakamraさん、

今回は、ご回答頂き、心から感謝致します。

minamino

お礼日時:2017/07/17 14:37

a≡p、b≡q(mod 3) ⇒ a^3≡p^3、b^3≡q^3(mod 3) になります。


すると、 a^3 - b^3 が3の倍数
⇒ a^3 - b^3 ≡ p^3 - q^3 ≡ 0 (mod 3)
⇒ (p,q)=(0,0)、(1,1)、(2,2)
※ ここは(p,q) の9通りのパターンで「しらみつぶし」をやりましたが、
もっといい計算方法があるかもしれません。(汗)
⇒ a-b ≡ p-q ≡ 0 (mod 3)

すると、(2) の命題がすでに証明されていれば
(3)も成り立ちます。
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この回答へのお礼

metabolian
こんにちは、ご回答を頂き、有難うございました。

minamino

お礼日時:2017/07/17 14:37

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