数学II

x^1990をx^2-x+1で割ったあまりの計算方法を教えてください。地道に計算するのではなく、定理などを使ったものがいいです。

No.1 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/18 21:40

まず、x^2-x+1=0…①の解は有名なのですぐに反応しましょう。

①の解をωとすると、ω＾3=-1です。
証明は①を変形するとx＾2=x-1
両辺にxをかけるとx＾3=x＾2-x==-1(∵①)
x^1990をx^2-x+1で割った商をQ(x),余りをax+b
とすると、
x＾1990=Q(x)(x＾2-x+1)+ax+b
x=ωとすると
ω＾1990=aω+b
(ω＾3)＾663･ω=aω+b
ω=(1+√3i)/2より、
(1+√3i)/2=a(1+√3i)/2+b
bは実数なので、両辺の実部と虚部を比較すると
1/2=(a/2)+b
√3i/2=a√3i/2
よってa=1,b=0
よって余りはx
こんなもんですかね。
勉強頑張ってくださいね。