極限の問題

以下の問題ですが、解法が分からず、解説もなく、周りに質問できる人もいないので、解説を教えていただけませんか？

問、次の極限値を求めよ
(1)lim[x→∞]tan^-1(2x)
(2)lim[x→0]sin^-1 (x/sin2x)
(3)lim[x→0]tan-1(sin√３ｘ/x)

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/02 17:21

y=arctan(x)というのは

tany = x となるyで -π/2＜y＜π/2を満たすもの
と考えるとx→+∞ は y→π/2を意味する。

t=arctan 2x ∴ 2x=tan t
t= arctan(2x) ⇔ 2x = tan(t)
x → ∞ ,2x→∞ よって傾きがすさまじく大きい時のtan(t)を求めればよい
傾きがすさまじく大きくなる時のtan(t) はほぼ垂直つまり90°=1/2π
つまり、2x=(1/2)π ∴ x=π/4

次に
lim ［x→0］(2x/sin2x ・(1/2))=1/2 より(siny=1/2 ∴ y=π/6) y=arcsin(1/2)
与式=π/6

最後に、同様にして y=tan√3 与式=π/3