高校数学での長さや面積、体積の考え方について 例えば2点A,B間の距離がaの時、線分ABの途中地点に

高校数学での長さや面積、体積の考え方について
例えば2点A,B間の距離がaの時、線分ABの途中地点に点Cを取り、ACの長さがb,CBの長さがcだとすると、その部分の長さと合計の長さの関係ははb+c＝aとなりますが、これは定義ですか？
同様に面積や体積も足し算することができますが、これはそう決められているからという程度の理解でいいでしょうか？

No.8 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/08/27 05:34

長さ、面積、体積はa+a=2a。

これは、そういう数学体系の要請事項(公準）です。
a+a=3aを要請事項にしたら、今普通に扱っている数学とは別の体系になります。
もし、その体系内で矛盾が起きたら、その要請事項は成り立たないので、そういう体系は否定される事になります。

1+1=2だって同じ。

No.7 回答者： guijty15699 回答日時： 2017/08/25 14:21

小学生からやり直すなどとおっしゃる方がいますが、そのような必要は全くありませんよ。

なぜなら数学というのは抽象概念を扱う理論であり、それを現実世界の長さや体積のようなものに変えるにはある程度人間の直感が入ります。
たとえばb+c=aが成り立ってもb[m]+c[cm]=a[m]などということは成り立ちませんよね？
つまり、量を単位を付けることで数に直すという作業が入っています。
例えばa(m)というのは1mのa倍というふうに数字に直すことで加法含めいろいろな数学の理論が使えるようになります。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/20 22:15

公理でしょうね。

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/示量性と示強性

No.5 回答者： springside 回答日時： 2017/08/20 16:13

こういう、ごく当然のことが判らないということであれば、小学生の算数からやり直したら？

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2017/08/20 01:40

なかなか難しい質問ですね。

この質問は、結局のところ、「長さとは一体何なのか？」、「面積とは一体何なのか？」、「体積一体何なのか？」という質問そのものです。
で、高校までの数学では、残念ながら、「長さ」や「面積」や「体積」というのが、一体何のか、を全く習わない（定義も全くない）ので、こういう疑問が出るのはある意味当然と言えば当然です。

と書くと、じゃあ、大学にいくと、「長さ」や「面積」や「体積」が何のかを習うのか、と思われるかもしれませんが、実はそうではないです。
大学にいくと、「長さ」や「面積」や「体積」とかいう言葉には、そもそも定義すらない、ということを習います。。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2017/08/19 20:55

＞同様に面積や体積も足し算することができますが

数えられるものしか足し算が出来ないのは、小学校低学年までの算数です。
高校生ですよね。　sinθ、cosθ 等の三角関数や、
対数、複素数の足し算はどうします？
あなたが例に出した b+c=a は定義以前の事柄です。

No.2 回答者： fxq11011 回答日時： 2017/08/19 20:07

＞b+c＝aとなりますが、これは定義ですか

定義の必要のない当然の帰結です。
＞これはそう決められているからという程度の理解でいいでしょうか
面積って、体積って、なに？、これを十分理解できていないからそんなことになります。
形のあるもの、１個、２個と勘定できるものしか足し算できないとでも、お猿さんならそうかもしれません。
粘土を丸めた玉２つ、２つ箱に入れると、箱の中に粘土の玉２つ。
２つをくっつけて丸めなおして１つの玉、箱の中に粘土の玉１つ。
重さはどうなりますか？、お猿さんではわかないでしょうが・・・・・。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/08/19 20:01

定義というより公理(axiom)です。

https://kotobank.jp/word/%E5%85%AC%E7%90%86-6334 …
ユークリッド幾何学では、自明なものとして理解していて大丈夫です。