面積素の求め方について 曲面 S が２つのパラメーターu,vで表されている場合を考えます．すなわち、

面積素の求め方について


曲面 S が２つのパラメーターu,vで表されている場合を考えます．すなわち、r=r(u,v)
ただし、rはベクトルとする。


曲面S上の4点を頂点とし，u曲線とv曲線で囲まれた微小図形 PP1P2P3を考え，その面積をdSとする


このとき、曲面Sでの面積素dSは

dS= |∂r/∂u×∂r/∂v|dudv
となっているのですが、なぜdu,dvが掛けられているのでしょうか？

そもそも、u方向にduだけ進んだ時のrの変化が∂r/∂uなのですから、それにduをかけるという意味がわかりません。
よくわからないので教えてください。

質問者からの補足コメント

• 同じこと繰り返してしまっているかもしれず、申し訳ないですが、
  
  曲面r=r(u, v)の微小部分の面積ΔSを考えます。
  ベクトルPP1≒(∂r/∂u)Δu,
  ベクトルPP2≒(∂r/∂v)Δv, ですから、
  ΔS≒|PP1×PP2|
  ≒|(∂r/∂u)×(∂r/∂v)|ΔuΔv.
  Δu→0 Δv→0の極限をとって
  dS=|(∂r/∂u)×(∂r/∂v)|dudv
  
  と、参考書に書かれているのですが、僕にはΔu、Δvをそれぞれかける必要があるのか疑問に思いました。理由としてはu方向にduだけ進んだときのrの変化が∂r/∂uなのだから、dSは
  dS=∂r/∂u×∂r/∂v
  となると思ったのですが・・・
  
  なにか、僕が勘違いしている気がするのですが、いまいちなんなのかがわからないです。
  
  どうにか指摘してもらえるところはありますかね❓

    補足日時：2017/09/05 19:46

• あーそうですよね・・・変化率ですから、単に∂r/∂uにかければ、u方向のrの変化になりますよね・・・

    補足日時：2017/09/05 23:59

• 自分が間違えた理由がわかったので、これで正しいかみなさんに確認していただきたいです。
  
  まず、僕が間違っていたのは「次元の区別ができていなかったこと」だと思います。
  例えば、車が4m/sの速さで走っているとすると、これは1秒間で4m進むという「変化率または割合」を表している。では、1秒間でどれくらい進むかというと、それは当然4m/s×1s=4mであって、4m/sではない。

    補足日時：2017/09/06 16:47

• 続きです。
  つまり、僕が質問した問題も同様にdu変化すると関数値がdr変化するという変化率を表したのが∂r/∂uであって、「du進んだ時のrの変化量はいくつですか？」と聞かれた時に、∂r/∂uと答えてしまっては問題の次元と異なってしまっている。だから、正しい答えは
  (∂r/∂u)duとしなくてはならない。
  これは、僕が4m/sと4mの数にとらわれていたため間違ってしまった、というのが理由です。
  
  以上で、何かおかしな所があるか皆さんに検討していただけると助かりますm(_ _)m

    補足日時：2017/09/06 16:48

No.1 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/09/05 19:32

パラメーターuで描かれる曲線の微小部分の長さは

∂r/∂u・du
同様に、パラメーターvで描かれる曲線の微小部分の長さは
∂r/∂v・dv
ですね(^^)
曲面上の微小面積（面積素）は・・・∂r/∂u・du と ∂r/∂v・dv のかけ算・・・ではないですね(^^;)
∂r/∂u・du も ∂r/∂v・dv も接線ベクトルになっていますから、ベクトルの積の一種で面積が出てくるものを使わないといけません(－＿－)
・・・そう、外積です・・・ですから
∂r/∂u・du × ∂r/∂v・dv=∂r/∂u × ∂r/∂v ・dudv
でも、外積は正になるとは限りませんので、
dS=|∂r/∂u × ∂r/∂v|dudv
となります(^^v)

この回答へのお礼

いつも、ありがとうございます！
またよろしくお願いしますm(_ _)m

お礼日時：2017/09/09 19:53

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/05 23:27

心配になってきたのでもうひとつ

>u方向にduだけ進んだときのrの変化が∂r/∂uなのだから、

違います。

u方向にduだけ進んだときのrの変化をduで割ったものが∂r/∂uです。
つまり偏微分というのは変化率。変化ではないのです。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/05 22:52

例えば球面を緯度(θ)、経度(φ)で表すとしましょう。

r=(Rcosθcosφ、Rcosθsinφ、Rsinθ)
|∂r/∂θ|=R (球の半径) で全然微小量では無いです。

つまり、|(∂r/∂u)×(∂r/∂v)|というのは比率で、
媒介変数の微小変化の積dudvを「正しい」面積に
補正する補正係数です。