エーレンフェストの定理における運動量の共変性の疑問

エーレンフェストの定理で運動量を考えると
期待値＝平均値はｍｖ＝ｍ　ｘドット
個々の測定値＝固有値は、-ih'∂ｘ｜ψ＞＝ｐ｜ψ＞で与えられるので
平均値と個々の値で　空間伸縮に対する共変性が逆であり、矛盾と思います。

どう考えれば良いですか？

質問者からの補足コメント

• 

  「共変性」という言葉は適切ではなかったです。
  座標の伸長に対して、単に、「同じように大きくなる」「逆に小さくなる」ということで、
  変換性というつもりです。
  そういう意味で
  ∇と位置ベクトルは、「変換性」が逆ですよね。
  （座標の目盛が変わるとしても、目盛はそのままで座標の値が変わるのどちらであっても）

    補足日時：2017/10/24 10:51

• 

  ∇と位置ベクトルで「変換性」が逆であるなら、
  エーレンフェストの定理で運動量を考えると、期待値はｍｖ＝ｍ　ｘドット
  それと
  -ih'∇｜ψ＞＝ｐ｜ψ＞で与えられる固有値＝個々の測定値
  は、「変換性」が逆ということになります。
  
  系の座標が伸縮しないのなら問題はないですが、
  実際には、この宇宙の空間は膨張していますから、
  仮に　固有値＝個々の測定値が大きくなるとすると、その平均値も大きくなるはず。
  しかし、エーレンフェストの定理から出てくる運動量の期待値の「変換性」が逆で、
  小さくなるのなら、矛盾すると思います。
  
  どう考えたらいいのでしょうか。

    補足日時：2017/10/24 11:09

• 

  md<ｘ>/dt=<ｐ>であれば、
  md<X>/dt=a^2<P>　でなく
  md<X>/dt=<Ｐ>でないといけないように思うのです。
  
  何故なら、古典力学で考えると
  （ポテンシャルの項がdx/dtを含まなければ）
  1/2 mv^2=p^2/2m より
  m dx/dt=p
  で、ここで、ｘがＸ＝ax になったとすると、
  1/a　m dＸ/dt = 1/a Ｐ
  となるからです。
  エーレンフェストの定理が　期待値が常に古典力学と同じになる
  というのでしたら、
  md<X>/dt=<Ｐ>でないといけないはずでは？

    補足日時：2017/10/26 13:37

• 

  ↑は、何の根拠にもなりませんでした。
  
  一般化運動量ｐ＝∂Ｌ/∂ｑドット　ですね。
  座標の伸縮において、ラグラジアンが定数倍ａ^2になると、ｑドットは　a倍になる
  （物理的には何も変わらない）
  したがって、ｐは、a倍になる
  僕の言う変換性でいえば、ｐは　ｑドット　と同じ
  
  で、よいでしょうか？

    補足日時：2017/10/26 21:12

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2017/10/24 03:42

>空間伸縮に対する共変性

どういう意味でおっしゃっていますか？

この回答へのお礼

Res、ありがとうございます。

「共変性」という言葉は適切ではなかったです。すいません。
座標の伸縮に対して、単に、「同じように大きくなる」「逆に小さくなる」ということで、
変換性というつもりです。
そういう意味で
∇と位置ベクトルは、「変換性」が逆ですよね。

お礼日時：2017/10/24 08:52

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2017/10/25 00:02

X=ax, P=p/aで定義されるX,Pを使って量子力学を展開した時の話を考えているのであれば、

運動エネルギーの項がp^2/2m=a^2P^2/2mとなる事を使えば、エーレンフェストの定理からは
md<X>/dt=a^2<P>
という結論が導出されます。
位置がa倍、運動量が1/a倍になる話と何も矛盾はしません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
md<X>/dt=a^2<P>は、わかりました。
エーレンフェストの定理では、期待値が常に古典力学と一致
しますから、
運動エネルギー＝p^2/2mをｐで微分した結果もエーレンフェストの定理で意味をもつはずで、
これはｐ/m＝aP/m
また　d<X>/dt＝a d<ｘ>/dt　なので、
d<X>/dt=a^2<P>/mですね。

でも、これはおかしくないですか？
md<ｘ>/dt=<ｐ>であれば、
md<X>/dt=<P>でないといけないように思うのですが？

お礼日時：2017/10/26 12:30

No.3 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2017/10/27 04:14

「座標の伸縮」が具体的にどういう操作を念頭に置いているのかがはっきりしない部分があったので、

＃２では、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E6%BA%96 …
のタイプ２の正準変換でW2=aqPとしたものを想定しています。
この場合mdX/dt=a^2Pとなるので、量子力学と同等の式が得られます。
ラグランジュ形式でx→X=axという座標変換を考えている場合もこのケースです。


x→X=axという変換のあとも、
mdX/dt=P
の関係は満たされているべきだ、という気がするのであれば、
何らかの「定数」の値も変わるような状況を考えているのだろうと思います。

具体的にどの定数が変わるかはケースバイケースですが、
長さの単位を変更する（例えばSI単位系からcgs単位系に）、プランク定数などの値が変わる事になります。
「虫眼鏡で拡大して観察する」ような状況を考えるのであれば、同じ力を加えたときの加速度が虫眼鏡で見ている時の方が大きく見えるので、実効的な質量が小さくなっている事になります。
これ以外の状況もあり得るでしょうが、いずれにしても、量子力学と古典力学で「同じ」状況を考えている限りは、同等の式が得られます。