円周の求め方

学生です。ちゃんと勉強をしていなかったことを後悔しています。

πの定義の方法は色々あるのかなとは思いますが、半径１の円の面積をπと定義します。
そうしますと半径rの円の面積はπr^2であることは自明です。

そして円周は2πrと教わりましたが、その証明ができません。
一応三角関数は使えるのですけれど、色々頑張っても証明にたどり着いていません。

上記定義（つまり円の面積をπとする）と三角関数のみで円周が2πであることを教えてもらえませんか？
それだけの知識では足りないのであれば、そのことも併せて教えてください。


モヤモヤして眠れません。
どうかよろしくお願いします

（数学以外のカテゴリに投稿してしまいましたので再投稿いたしました）

質問者からの補足コメント

• 元の質問は
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10022406.html
  です。（内容は同じです）
  気になる方は参照いただければと存じます。

    補足日時：2017/10/29 02:31

• あ、明らかですね
  
  びっくりしました。
  
  すごくありがとうございます。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/10/29 03:13

No.7 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/29 02:14

半径が1の円を考えます。

半径：1
半径1の円の円周：m

ここで円の面積をπと定義すると
No.6でやったように、円を変形して
――――
|　　　|
――――
横：m/2
縦：1
長方形の面積：m/2
とできます。

考え方から
長方形の面積=円の面積
なので
m/2=π
となります。

この式は半径1/2の円の円周、
すなわち、
直径1の円の円周が π であることを表す式になっています。

さらに両辺を2でかけた式
m=2π
は、半径1の円の円周が 2π であることを表しています。


----------
円の面積の式がわかっていなくても、
円周と面積の関係は極限からわかっています。
ですので、
「半径1の円の面積をπと定義する」
は
「直径1の円の円周をπと定義する」
と同値になってしまうわけです。

＃円の面積の式を持ち出した時点で
＃円周の式もわかっていないとおかしいわけですからね。
＃考えに必要なのは、三角関数ではなく、極限の方でしょう。

要するに、あなたが余計な一文を入れたことによって
混乱する原因になったわけですね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>＃考えに必要なのは、三角関数ではなく、極限の方でしょう。
>要するに、あなたが余計な一文を入れたことによって
>混乱する原因になったわけですね。ごめんなさい。

三角関数と積分すればなんとかなると浅はかな考えをしていました。

ありがとうございます。

お礼日時：2017/10/29 02:58

No.6 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/28 15:38

円周が定義されていないと仮定して、

円周：l
半径：r

の円を考えます。

円をピザのように扇形にカットしたものを交互に並べます。

.～～～～
/|/|/|/|/
～～～～

これを細分化していけば、長方形に限りなく近づきます。

――――
|　　　|
――――

このとき、縦の長さは半径なので r、
横の長さは円周の半分に相当するので l/2 となります。
したがって面積は　r×l/2　となります。

＜半径rの円の面積はπr^2であることは自明＞
とのことなので、

r×l/2 = πr^2
l/2 = πr
l = 2πr

計算から円周は 2πr であることがわかりました。


----------
円周の定義を飛ばして、円の面積の式を使うことに違和感がありますが、
円周から面積を求める方法を知っていれば、
その関係から円周がわかると思います。
上で行ったものは積分に相当するものなので、
円の面積の式を微分することでも円周を求めることができると思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お伺いしたいのですが積分式を使わず、いきなり
> r×l/2 = πr^2
というのはありなのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

お礼日時：2017/10/28 19:29

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/28 10:59

その証明は不可能です。

それは、定義だからで、円周率の定義が円周/直径だからです。

そして、円周率π=内接多角形の外周の和と外接多角形の外周の和をはさみうちの原理で
近似値を表しています！

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

円は正多角形の極限であることは理解しています。
以前読みましたラング先生の子供用教本か冊子で半径１の円の面積をπと定義する、とあったのです。

しかし、
>円周率の定義が円周/直径だからです。
であるのであれば半径１の円の面積をπとする
の間に相関関係を見つけ出すことができるはずです。

私の質問が悪かったと思うのですけれど、言い換えましたら円の面積とその円周の関係を
スッキリはっきり導ける定理とその証明をしたいのです。

お伺いの仕方が悪くて申し訳ございませんでした。

お礼日時：2017/10/28 19:27

No.4 回答者： usa3usa 回答日時： 2017/10/28 10:13

＞モヤモヤして眠れません。

それならば、
「円の面積の求め方 - 公式と計算例」
https://sci-pursuit.com/math/surface-area-of-cir …
の
「円を24個の扇形に等しく分割した」
の図を眺めて、自分で納得してください。

直観的に、円の面積＝円周ｘ半径／２　がわかると思います。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

この方法は以前icuにいらした野崎先生の書籍で拝読しましたことがあります。
しかしそれを数式化できていませんで質問をいたしました。

説明が足らず申し訳ございません。

お礼日時：2017/10/29 03:04

No.3 回答者： diff3356 回答日時： 2017/10/28 07:13

半径ｒの円に内接、外接する正ｎ角形を考えます。

このとき、辺の数ｎを限りなく大きくしたときの極限が円周であるとします。
内接正ｎ角形の周囲の長さは、n*2r*sin(pi/n), 外接の場合は、n*2r*tan(pi/n) です。
すなわち、円周の長さＬは、
n*2r*sin(pi/n)<L<n*2r*tan(pi/n) ということになり、
2pi*r*{sin(pi/n)/(pi/n)}<L<2pi*r*{tan(pi/n)/(pi/n)}.
からｎ→∞ とすれば明らかです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

確認します。
ありがとうございます。

お礼日時：2017/10/29 03:06

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/10/27 23:45

微分していい?

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>微分していい?

どんどんしてください。

お礼日時：2017/10/29 03:06

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/10/27 23:19

＞そして円周は2πrと教わりましたが、その証明ができません。

証明するって、「円周率」の定義が「直径と円周の比」ですから。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

私はラング先生の教本か冊子でπとは半径１の円の面積であると習いました。
英語圏ではπですので「円周率」という訳語を言われても、またπに近接できることでもないと存じます。

>証明するって、「円周率」の定義が「直径と円周の比」ですから。
この事実から円の面積がπr^2を導けるはずです。
逆にπを半径１の円の面積と定義した場合でも円周が2πであることは導けるはずです。

ですので質問の内容としまして正しくは円の面積とその円周の関係を
できるだけ簡潔に示したいということなのです。

何卒よろしくお願いします。

お礼日時：2017/10/28 19:43