図形と式放物線、直線の平行移動はわかる(x軸、y軸に対して正の方向に平行移動するときになぜx、yに

Question

図形と式

放物線、直線の平行移動はわかる(x軸、y軸に対して正の方向に平行移動するときになぜx、yに負の値を代入するのか)のですが、円の方程式の平行移動がどうしてもわかりません。

放物線、直線と同じく、正の方向に平行移動するときは負の値を代入すればよいということは知っているのですがなぜか理解できません。

円の方程式の平行移動の証明(仕組みの説明)をお願いします。

(初歩的なことを忘れているのかもしれません。すみません。)

masterkoto · Accepted Answer

アップした図のような中心ｃ(a.b)、半径ｒの円の方程式は、次のように求まる。
中心C、半径ｒの円はＣＰ＝ｒを満たす点Ｐ全体の集合だから　Ｐの座標を（ｘ．ｙ）とすると、
ｃｐ＝ｒよりcp^2=r^2を座標を用いて表し　
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
このようにして、円の方程式ができます。
これが、基本です。

☆★☆これを平行移動という始点から見てみます。（証明ではありませんが仕組みを見ます。)
例として、原点中心、半径3の円の方程式は、
x^2+y^2=3^2・・・①
これを、ｘ→＋１、ｙ→＋１　平行移動した円の式は
(x-1)^2+(y-1)^2=3^2・・・②

原点中心の円を平行移動する前の「元の円」と呼ぶことにします。
元の円の円周上の点(3.0)を①式に代入すると
3^2+0^2=3^2・・・①’

一方平行移動後の円周上の点(4.1)を②式に代入すると
(4-1)^2+(1-1)^2=3^2で
⇔3^2+0^2=3^2となり①’と一致します。

すなわち、(x-○)^2+(y-□)^2　でー○、ー□は
()の中の値を元の座標の値に戻す働きをしています。

ー○、ー□は平行移動後の円上の任意の点の座標を、
元の円上の点の座標に戻して、
元の円の式①に乗せるためにあるもの　とみることができます。
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　↓
そして、ー○、ー□で元の円の式①に乗ってしまう点の集まりこそ
ｘ→＋１、ｙ→＋１　平行移動した円だよ　ということになります！

これは、satosiさんが

放物線、直線の平行移動はわかる(x軸、y軸に対して正の方向に平行移動するときになぜx、yに負の値を代入するのか)のですが　　
と、言っているように、放物線、直線の平行移動などにもあてはまることです。

tknakamuri · Answer

ある2次元図形を表す方程式を
f(x, y)=0
とすれば、それよりa、bだけずれた図形の座標 x', y' は
x'=x+a → x=x'-a
y'=y+b → y=y'-a

x, yは上の方程式を満たすから
f(x, y)=f(x'-a, y'-b)=0

が、a、bだけずれた図形が満たす方程式です。
簡単でしょ?

kmee · Answer

元の座標(X,Y) を x方向にdx,y方向にdyだけ移動すると、移動先の座標(x,y)になる、とします。
このとき
x=X+dx
y=Y+dy
です。
つまり、移動後の座標から、移動前の座標を求めるには
X=x-dx
Y=y-dy
となります。

このことから、
　移動元のX,Yが、 f(X,Y)=0 の関係にあるならば、
　移動先のx,yは f(x-dx,y-dy)=0 の関係になる。
というのはわかりますか?

springside · Answer

こう考えればいいんだけど。
（考え方は、放物線、直線、円など、どのような図形かに関係なく共通的に同じ）

まず、「負の値を代入する」という考え（発想）自体が間違い。

例えば、元の図形をy=f(x)として、それをx軸方向に3、y軸方向に5移動させることを考える。

で、移動後の図形の方程式をy=g(x)としてみる。

［ここから重要］
移動前の図形と移動後の図形を比較したときに、移動後の図形の各点(x,y)から、xに関しては3だけマイナスに、
yに関しては5だけマイナスにしてやれば移動前の図形に戻る。

だから、y-5=g(x-3）は、移動前の図形と全く同じものになるはず。

図形の形状は、それぞれの関数fやgで表されるから、y-5=g(x-3)としたときには、その関数の形はfのはず。

だから、移動後の図形は、y-5=f(x-3)

図形と式 放物線、直線の平行移動はわかる(x軸、y軸に対して正の方向に平行移動するときになぜx、yに

アップした図のような中心ｃ(a.b)、半径ｒの円の方程式は、次のように求まる。

ある2次元図形を表す方程式を

元の座標(X,Y) を x方向にdx,y方向にdyだけ移動すると、移動先の座標(x,y)になる、とします。

こう考えればいいんだけど。

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