放物線の決定

よろしくお願いいたします。

数学Ⅲの放物線の問題なのですが、基本的にもかかわらず理解できず、行き詰まっております。

（問題）焦点のx座標が3、準線が直線x=5で、点（3,-1）を通る放物線の方程式を求めよ。

（解答）焦点の座標を（3,b）とすると準線が直線x=5であるから頂点の座標は（4,b）である。
　　　　従ってもとめる方程式は(y-b)^2=4p(x-4)となる。
　　　　定義より、2p=3-5=-2　よってp=-1
　　　　これが点（3,-1）を通るから、代入してbを求めるとb=-3,1
　　　　よって求める方程式は　(y+3)^2=-4(x-4) (y-1)^2=-4(x-4)


この解答で、「定義より、2p=3-5=-2　よってp=-1」の部分がわかりません。
放物線の標準形は　y^2=4pxで、焦点は（p,0）だからp=3ではないのでしょうか？
実際にp=3として計算を進めていくとおかしいのは明らかなのですが、「定義より」の意味がわかりません。
私は基本的な事項が欠落しているようです。
お手数ですが、詳しく解説いただけないでしょうか。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/07/18 05:41

>放物線の標準形は　y^2=4pxで、焦点は（p,0）だからp=3ではないのでしょうか？

ここが間違っています。ｐは焦点のx座標ではありません。ｐは焦点と頂点の距離＝頂点と準線の距離＝焦点と準線の距離の半分です。つまり2p=焦点と準線の距離です。
よって2p=3-5=-2, p=-1です。

分からなくなったら定義に戻れば簡単に解けます。放物線は焦点からの距離と準線からの距離が等しくなる点の集合です。焦点の座標を(3,b)とすると

(x-3)^2+(y-b)^2=(x-5)^2

これより

(y-b)^2=4(4-x)

(3,-1)を通ることから

(-1-b)^2=4

b=1±2=3,-1


>私は基本的な事項が欠落しているようです。

焦ることはありません。問題集の放物線に関する章の問題を一通りやれば大体のことは身に付きます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

>>ｐは焦点のx座標ではありません

完全に勘違いしていました。
焦点が（p,0）になるのは標準形に限ったことなのですね。
計算量は増えますがきちんと距離の方程式を立てて計算する方が安全ですね。

ありがとうございました。
とても参考になりました。

お礼日時：2015/07/18 21:34

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/18 11:03

放物線って、習うときには「焦点」や「準線」が出てきますが、実際に放物線を扱うときには、その「形」が重要で、「焦点」や「準線」はあまり使いません。

　一応、こんなものを見て、「式」や「文字」ではなく、「図式的」に「そんなものか？」と理解して、あとは忘れてもほとんど支障はありません。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/quadratic …
http://mathtrain.jp/syoten

　放物線は、その名の通り「物を放り投げたときの軌跡」ですから、そんな程度に「アバウト」に理解すれば、応用できます。
　一番使うのは、ボールを投げたり、「どこまで届くかな？」と考えるときでしょうか。

　NHK教育テレビ（Ｅテレ）で、朝6:55、夜11:55から放送している5分番組「0655」「2355」に、「放物線の歌」というのが出て来ますので、ご参考まで。

この回答へのお礼

確かに、曲線を決定せよ、という問題が単体で出題されるケースはあまり見かけない気がします。
放物線は物理でもよく扱われますから身近ですね。

2355は好きで気がついたときにはいつも見ています（笑）
しかし、「放物線の歌」は知りませんでした。

ありがとうございます。

お礼日時：2015/07/18 21:36