だ円x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上の任意の点をPとする。Pから定点F(c、0)までの距離PFと、Pから定直線x=dへの距離PQが、常にPF:PQ=e:1をみたすという。(e>0),c,dをa,bを用いて表せ。
尚、双曲線x^2/a^2 -y^2/b^2=1についても同様に求めよ。
まず、だ円の回答⇔
PF^2=(x-c)^2+y^2
PQ=|d-x|
これとPF^2=e^2PQ^2とから
(x-c)^2+y^2=e^2(d-x)^2 (1)
P(x、y)はだ円上の点であるから
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
∴y^2=b^2-(b^2/a^2)x^2これを(1)に代入してから、こうべきの順に整理すると
(a^2-b^2-a^2c^2)x^2ー2a^2(c-e^2d)x+a^2(c^2+b^2-e^2d^2)=0
☆これが、-a≦x≦aである
全ての実数xについて成り立つので
a^2-b^2ーa^2e^2=0
c-e^2d=0
c^2+b^2-e^2d^2=0
これからe(>0)とc、dを求めて
e=√(a^2-b^2)/a, C=±√(a^2-b^2),
d=±a^2/√(a^2-b^2) (複合同順)
以上で求まるのですけど、双曲線のもとまりません
>_<同じようにやって解いていくと思うのですけど、
だ円の時ちがい、今回は双曲線なんで、符号がマイナスに変わったx^2/a^2 ー y^2 /b^2 =1です。これを変形しても、-a>x a<xとなると思うので
だ円の時に用いた☆これが、-a≦x≦aである全ての実数xについて成り立つのでというのが使えないので、どうしたらよいのか解りません。
双曲線の方はどのように求めればよいのでしょうか?
誰か教えてください!!!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
確かに、
>例えば、x^2-2x+4>0の時とかのグラフを書いたら、放物線が
>x軸より浮いていて、x軸横全て、正になる事がわかるので、xは全て
>の実数に成り立つと学びました。また、例えば、-x^2+x+2<0
>だったら、-(x-1/2)^2+9/4となって、不等式の範囲はー1>x、
>2<xみたいになりました。
は、xの2次式、例えば x^2-2x+4 が正になるのはxがどんな
範囲にあるときか?ときかれれば「xはすべての実数である」と答えます
が、今回のxの2次式は不等式ではありません。ご質問の際に最後の方に
出てきたxについての長い式があるでしょう。あれは、だ円が存在する
範囲のxについては成り立つ式です、ということです。なぜなら、この場
合のxはだ円上の点Pのx座標ですから。つまり、xの範囲は、だ円とx
軸との交点のx座標である-aからaまでで考えている、ということです。
だから、あのxについての長い式は、xが-aからaの間ならばその間に
だ円のグラフが存在するから、xにどんな実数を入れても=0になると
いうことです。
たぶん数Iかなんかでやったと思いますが、xについての2次式(ここでは
2次式に限ってみますが・・)があってそれがすべてのxについて成り立
つ場合、その式を恒等式といって、
Ax^2+Bx+C=0 ならば A=B=C=0 である
というようにやりましたよね?
その考えを、今回の場合は、xを-aからaに限って使ったわけです。
もし、xの範囲が限定されていなければ、xがすべての実数について成り
立つから・・・は言えなくなります。
わかったでしょうか?不明な点があればどうぞ。
わかりました!!>_< 丁寧に教えてくれてありがとうございました!すごく嬉しくて感動しました!!!!もっと数学の世界について知りたいので、頑張ります!!!!ありがとうございました!!!!!!!!!
No.1
- 回答日時:
だ円のときと同じようにやります。
>☆これが、-a≦x≦aである
>全ての実数xについて成り立つので
>a^2-b^2ーa^2e^2=0
>c-e^2d=0
>c^2+b^2-e^2d^2=0
とした理由を考えてみてください。最後に出てきたxの2次方程式が、
「-a≦x≦aにおいてはxにどんな実数を入れても成り立つ、つまり
xについての恒等式になるから、各項の係数=0とできる」としたわけ
ですよね。
だから、双曲線の場合も、x≦-a,a≦xにおいては、双曲線の式に
関して出てきた方程式
(a^2+b^2-a^2e^2)x^2-2a^2(c-e^2d)x+a^2(c^2-b^2-e^2d^2)=0
がxについての恒等式になるので、各項の係数=0として求められます。
解答では、同じようにして、「これがx≦-a,a≦xのすべての実数に
ついて成り立つので・・・」とすればいいです。
この回答への補足
どうしてなのか、理由がわかりません>_<
なぜ、-a≦x≦xに置いてはxにどんな実数を入れても、成り立つのか解りません。
なので、各項の係数=0と二次方程式が3つ出てきたのにスゴク驚いていて、私なりに二次方程式を昔学んだ時に、不等式のところで、例えば、x^2-2x+4>0の時とかのグラフを書いたら、放物線がx軸より浮いていて、x軸横全て、正になる事がわかるので、xは全ての実数に成り立つと学びました。また、例えば、-x^2+x+2<0だったら、-(x-1/2)^2+9/4となって、不等式の範囲はー1>x、2<xみたいになりました。つまり、これがyが負になる範囲なんですけど、
今回のも、ーa≦x≦aという範囲を得たのは正になる範囲だと思うのですけど、どうして、三つの係数の部分を抜き出して、二次方程式=0とできるのですか???
それか、xにどんな実数を入れても成り立つという意味が、何に対して成り立つのか意味が解ってないと思います>_< ごめんなさい>_<
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