秘密基地、どこに作った?

放物線y=x^2-3xと y=0,y=4
で囲まれた面積S を求めてほしいです!

答えは、49/3です!

質問者からの補足コメント

  • 計算過程をお願いしますm(_ _)m

      補足日時:2018/02/20 15:37

A 回答 (4件)

y=x^2ー3x =(xー3/2)^2 ー9/4 ∴x=3/2±√(y+9/4)より



S=∫ 0…4 { 3/2+√(y+9/4)}ー{ 3/2ー√(y+9/4)}dx



S=∫ 0…4 { 3/2+√(y+9/4)}ー{ 3/2ー√(y+9/4)}dy
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y=x^2ー3x =(xー3/2)^2 ー9/4 ∴x=3/2±√(y+9/4)より



S=∫ 0…4 { 3/2+√(y+9/4)}ー{ 3/2ー√(y+9/4)}dx

=∫ 0…4 2・√( y+9/4) dy

=∫ 0…4 2・(y+9/4)^1/2 dy

=2・[ (y+9/4)^3/2 /(1/2 +1 )]4→0

=2・2/3・[ (y+9/4)^3/2 ]4→0

=4/3・[ (4+9/4)^3/2 ー(9/4)^3/2 ]4→0

=4/3・{ (5/2)^2・3/2 ー (3/2)^2・3/2 ]

=4/3・{ (5/2)^3 ー (3/2)^3 }

=4/3・98/8

=49/3
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積分は使えますか?



放物線は
 y = x^2 - 3x = (x - 3/2)^2 - 9/4
ですから、下に凸で、頂点が (3/2, -9/4) です。
この放物線を書いて、y=0 , y=4 との交点、それらで囲まれる部分を見れば
・y=0 との交点は
 x^2 - 3x = x(x - 3) = 0
より
 x = 0, 3
・y=4 との交点は
 x^2 - 3x = 4
→ x^2 - 3x - 4 = 0
→ (x - 4)(x + 1) = 0
より
 x = -1, 4

・これらに囲まれる範囲は
 (a) -1≦x≦0 では、放物線と y=4
 (b) 0≦x≦3 では、y=0 と y=4
 (c) 3≦x≦4 では、放物線と y=4

ということが分かりますよね? これが分からなければ、積分が分かっていても解けません。

つまり

S = ∫[-1→0][ 4 - (x^2 - 3x) ]dx + ∫[0→3][ 4 - 0 ]dx + ∫[3→4][ 4 - (x^2 - 3x) ]dx
 = [ -x^3 /3 + (3/2)x^2 + 4x ][-1→0] + [ 4x ][0→3] + [ -x^3 /3 + (3/2)x^2 + 4x ][3→4]
 = ( 0 - 1/3 - 3/2 + 4 ) + 12 + ( -64/3 + 24 + 16 + 9 - 27/2 - 12 )
 = 13/6 + 12 + 13/6
 = 49/3
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この回答へのお礼

ありがとうごさいます!!

お礼日時:2018/02/20 16:12

計算過程ですか?

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