A⊂Bとなるようなkの値の範囲の求め方

kは0でない実数とする。座標平面上で、不等式x^2+y^2<k^2を満たす点(x,y)全体の集合をA、不等式y>=(1/2)x^2-2kを満たす点(x,y)全体の集合をBとする。

A⊂Bとなるようなkの値の範囲の求め方を教えて下さい。
答えは 0<k<=2+√3です。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/04/30 09:13

＞ｋ＝0ではAは空集合となりA⊂Bとはならない。

問題からは除外されている条件なので、蛇足なのですが・・・

Aは空集合の場合　A⊂B　は無条件に真です。
なので、問題に　kは0でない実数とする が無ければ
答えに k=0 は含まれます。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/04/28 11:43

Aは半径kの円の内部(周は含まない)、Bは下に凸の放物線の内部(周を含む)である。

ｋ＜0では、放物線は常に円の上方にありAとBには共通部分がない。
ｋ＝0ではAは空集合となりA⊂Bとはならない。
k>0で、ｋの小さいときは円の下端(0,-k)より放物線の頂点(0,-2k)は下にあり、放物線の内側において円と接するときのkの値k=LまではA⊂Bとなる可能性がある。

Lは以下の連立方程式が重解を有する条件として求めることができる。

　x^2+y^2＝k^2　　　　　①
　y=(1/2)x^2-2k　　　　　　②

②よりx^2=2k+4y,これを①に代入して

　ｙ^2+2ｙ+4ｋ-ｋ^2＝0 ③

　D/4=1-(4k-k^2)=k^2-4k+1=(k-2)^2-3 ④

D=0のときk=2+√3またはk=2-√3となる。このどちらが重解条件となるかを以下に検討する。

③よりy=-1, このとき①より

　x^2=k^2-1 ⑤

②より

　x^2=4k-2　　　⑥

xが実数になるためには⑤よりk^2≧1,６よりk≧1/2が必要条件となりこれらの共通部分として

　k≧1　　　　　　⑦

が必要である。よって

k=2+√3 ⑦

が重解条件となる。

k>2+√3 では④から明らかなように①、②は実解を有しA⊂Bとならない部分を有する。

以上より

0<k≦2+√3

のときA⊂Bである。