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連立不等式
x-1/3+1<x+9/5
a+4/3<x<10
の整数解xが5個あるとき、整数aの値は何ですか?
解説もお願いします!

質問者からの補足コメント

  • (x-1/3)+1です!すいません!

      補足日時:2018/01/19 00:04
  • x-1 x+9
    ──+1<──
    3 5
    4
    a+─ <x<10
    3

    です!何度もすいません!

      補足日時:2018/01/19 00:21

A 回答 (3件)

2つ目の補足コメントから、問題は次のようであると想像します。


{(xー1)/3}+1<(x+9)/5 ・・・①
a+(4/3)<x<10 ・・・②

① の左辺の (+1) を右辺に移項してまとめます。
(xー1)/3<(x/5)+(9/5)ー(5/5) → (xー1)/3<(x+4)/5 両辺に 15 を掛けます。
5(xー1)<3(x+4) → 5xー5<3x+12 → 2x<17 → x<17/2 。
此れで、xの値が求められたのですが、問題文の「整数解xが5個」って何でしょうか。
このままでは、xは 8 以下の整数全てが該当します。
そして、②の右の式 x<10 は意味の無い式になります。

a+(4/3)<x から計算すると、x=8 の時 a<20/3 , x=7 の時 a<17/3,
x=6 の時 a<14/3, x=5 の時 a<11/3, x=4 の時 a<8/3 となりますが。
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連投失礼します。

それにしても上の式からxが消えてしまうので、おかしいと思います。
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上の式にどこか間違いがありませんか?

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Q数I 連立不等式の整数解の条件

以下の問題の解答例の最後の部分で何故こうなるのか、わからない部分があります。


【問題】

連立不等式 3x-7≦5x-3・・(1) 2x-6<3a-x・・(2)  の解について、整数がちょうど3個含まれる場合の定数aの範囲を求めよ。

【解答例】
 (1)を解くと x≧-2

 (2)を解くと x<a+2

 (1)、(2)の共通範囲は -2≦x<a+2

 これを満たす整数xがちょうど3個あるとき、その値は x=-2、-1、0 であるから、

 a+2 が満たす条件は 0<a+2≦1・・・・★

 各辺から2を引いて -2<a≦-1

 
 ★マークの部分、不等号に=が付く位置についてがよくわかりません。
 私は、整数解が0を含むので 0≦a+2<1 となるのでは?と考えました。
 また、1を含んでしまうと正数解は4個になるのでは?とも思いました。

 なぜ、私の考え方が間違いで、正解が解答例のようになるのかご教示ください。

Aベストアンサー

-2≦x<a+2
テスト等の時には、いくつか具体的に数字を入れて想像してみるのが良いでしょう。

-2≦x< -0.1 ・・・解-2、-1
-2≦x<0     ・・・解-2、-1
-2≦x<0.1   ・・・解-2、-1、0
つまり、0より少しだけ大きい数でないと、整数解に0が入ってこない。
0はダメ。
→ 0≦ ではなく 0< (等号含まない)。

-2≦x<0.9 ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1    ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1.1 ・・・解-2、-1、0、1
つまり、1より少しだけ大きい数になると、整数解に1が入ってきてしまう。
<1 にした時はまだ、解に1を含まないのでぎりぎりセーフ(ここが確かにわかりにくいところですね)。
→ ≦○ ではなく <○ ・・・と考えない。上と違って、こう考え始めるとわけがわからなくなる。
正しくは、注目すべきは、
0.9だと解に1が入らなくて、1でも解に1が入ら「ない」、ということ。
つまり<○の○は、1を含む、ということ。

だから
0<a+2≦1
になるのです。


少し視点を変えましょう。
0≦a+2<1 と考えたのでしょう。
正解と異なるのは (1)左の数字 0を含む (2)右の数字 1を含まないですね。
ではまず、
a+2=0 となる場合を考えましょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<0 となります。
ほら、x=0とはならなず、解は2つだけですね。

次にa+2=1未満 となる場合を考えましょう。こちらの方が考えにくいです。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<1より微妙に小さい値 となります。
これは正しいです。x=-2、-1、0となります。
でも、未満じゃなくてa+2=1 だったらどうでしょう。
(1)、(2)の共通範囲は -2≦x<1 となります。
こうやって具体的に書くと、x=-2、-1、0という条件を満たすことがわかりませんか。
a+2 に1を含んでも、xは「その数未満(<)」なので、正数解は4個にはなりません。

そして、上の方に書いた考え方に戻って、
「では、1より微妙に大きい値、1.1では?」
という検証に続くのです。


よくこういう不等号の問題は、数直線の○とか●で含むとか含まないとかやると思いますけど、数直線も万能ではないんです。むしろ、「わざと微妙に小さな/大きな値を考え」て、それがアウトかセーフかを考えた方が、訓練になるでしょう。

-2≦x<a+2
テスト等の時には、いくつか具体的に数字を入れて想像してみるのが良いでしょう。

-2≦x< -0.1 ・・・解-2、-1
-2≦x<0     ・・・解-2、-1
-2≦x<0.1   ・・・解-2、-1、0
つまり、0より少しだけ大きい数でないと、整数解に0が入ってこない。
0はダメ。
→ 0≦ ではなく 0< (等号含まない)。

-2≦x<0.9 ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1    ・・・解-2、-1、0
-2≦x<1.1 ・・・解-2、-1、0、1
つまり、1より少しだけ大...続きを読む

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-b+2≦x≦-a-6

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-a-10<-b+2≦-a-9

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a+11≦b<a+12

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Q連立方程式の整数解の個数の問題がわかりません。

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    X(X-a)<0…(2)  の両方を満たす整数Xがただ1つ存在するようなaの範囲を求めよ。

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どなたかできるだけ簡単に教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

補足質問
なぜ、a=4にしても整数Xが4にならないのかがわかりません。について

X(X-a)<0…(2)にa=4を代入してXの範囲を求めると、
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Q連立不等式を満たす整数の個数 問題

Xについて2つの2次不等式
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2x^2+3x-2>0…(2)
を同時に満たす整数xがちょうど2つに存在するように、
定数aにの値の範囲を求めよ。

という問題が解けなくて困っています。
やり方からわからないので解説を交えて回答していただけたら嬉しいです。

Aベストアンサー

(1)(2) を、それぞれ別に解いて、
 (1) ⇔ ( 3<x<a または a<x<3 )
 (2) ⇔ ( x<-2 または 1/2<x )
となるのは、解ったんでしょうね?

解らなければ、教科書で「二次不等式」を確認。
応用問題は、基本を理解してからです。

(1)(2) が解けたら、
 (1) ⇔ 3<x<a となるか
 (1) ⇔ a<x<3 となるかに注目して、
3<a か a<3 かで場合分けします。

(A) 3<a の場合、
3<x<a かつ ( x<-2 または 1/2<x ) の範囲に
整数 x が 2 個あればよいです。
この範囲は 3<x<a と整理できますから、 ←(A*)
x = 4, 5 を解に持ち、x = 6 は解でないように、
5<a≦6 が a の範囲となります。

(B) a=3 の場合、
(1) を満たす x が無いので、
(1)(2) の解は 2 個にはなりません。

(C) a<3 の場合、
a<x<3 かつ ( x<-2 または 1/2<x ) の範囲に
整数 x が 2 個あればよいです。
この範囲は a<x<-2 または max{a,1/2}<x<3
と整理できますから、 ←(C*)
x = 1, 2 を解に持ち、x = -3 は解でないように、
-3≦a<1 が a の範囲となります。

(A)(B)(C) を併せて、
解は -3≦a<1 または 5<a≦6 です。

(A*)(C*) の内容がピンと来ないならば、
数直線を描いてみるとよいです。

(1)(2) を、それぞれ別に解いて、
 (1) ⇔ ( 3<x<a または a<x<3 )
 (2) ⇔ ( x<-2 または 1/2<x )
となるのは、解ったんでしょうね?

解らなければ、教科書で「二次不等式」を確認。
応用問題は、基本を理解してからです。

(1)(2) が解けたら、
 (1) ⇔ 3<x<a となるか
 (1) ⇔ a<x<3 となるかに注目して、
3<a か a<3 かで場合分けします。

(A) 3<a の場合、
3<x<a かつ ( x<-2 または 1/2<x ) の範囲に
整数 x が 2 個あればよいです。
この範囲は 3<x<a と整理できますから、 ←(A*)
x = 4, 5 を解に持ち...続きを読む


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