↓の問題の解き方を教えて欲しいです。 等式 sinθ/1-cosθ - 1/tanθ =1/sinθ

↓の問題の解き方を教えて欲しいです。

等式 sinθ/1-cosθ - 1/tanθ =1/sinθ を証明せよ。


解き方は一応解説に載っているのですが、途中の計算が一部省略されているので、理解ができません。

計算がよく分からないので、できるだけ詳しく説明して頂けると幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/05 01:42

sinθ/(1ーcosθ) ー1/tanθ とカッコをっけましょう！

有利化しましょう！また、tanθ=sinθ/cosθより
=sinθ(1+cosθ)/｛ (1ーcosθ)・(1+cosθ)｝ーcosθ/sinθ
1ーcos^2 θ=sin^2 θより
=sinθ・(1+cosθ)/sin^2 θ ーcosθ/sin
=(1+cosθ)/sinθ ーcosθ/sinθ
=(1+cosθーcosθ)/sinθ
=1/sinθ

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/05 16:22

オーソドクスに

sinθ/1-cosθ - 1/tanθ
＝sinθ(1+cosθ)/(1-cosθ)(1+cosθ) - cosθ/sinθ (⇒左の分母を1-(cosθ)^2にするために分母分子に(1+cosθ)倍
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　右はtanθ =sinθ /cosθ の逆数)
=sinθ(1+cosθ)/1-(cosθ)^2 - cosθ/sinθ
=sinθ(1+cosθ)/(sinθ)^2- cosθ/sinθ (⇒(sinθ)^2+(cosθ)^2=1)
=(1+cosθ)/(sinθ)- cosθ/sinθ (左側をsinで約分）
=(1+cosθ-cosθ)/sinθ (分母が共通だから分子を１まとめに）
=1/sinθ
このようになります＾＾￥

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/02/05 16:11

いくつか方法がありますが、

1例として
「方針　与えられた等式の両辺をsinθ倍して
(sinθ)^2/(1-cosθ) - (1/tanθ) sinθ=1
{1-(cosθ)^2}/(1-cosθ) -cosθ=1 ・・・・(sin^2+cos^2=1 1/tanθ=cosθ/sinθより)
(1-cosθ)(1+cosθ)/(1-cosθ)-cosθ=1
(1+cosθ)-cosθ=1（ここまでは回答欄には書いてはいけません。）」だから、これを逆順に記述して、

証明）
1-cosθ≠0 tanθ≠0(⇔sinθ≠0)のとき
1=(1+cosθ)-cosθ
=(1-cosθ)(1+cosθ)/(1-cosθ)-cosθ
={1-(cosθ)^2}/(1-cosθ) -cosθ
=(sinθ)^2/(1-cosθ) - (1/tanθ) sinθ
すなわち
1=(sinθ)^2/(1-cosθ) - (1/tanθ) sinθ
この式の両辺を1/sinθ倍すると
sinθ/1-cosθ - 1/tanθ =1/sinθ
よって与えられた等式が成り立つ

という方法もあると思います。＾＾￥

No.1 回答者： windwald 回答日時： 2018/02/04 23:40

sinθ/1-cosθ - 1/tanθ =1/sinθ を証明することは、

sinθ・(sinθ/1-cosθ - 1/tanθ) =1を証明することと同じ

与式の左辺＝sinθ/1-cosθ - 1/tanθ ＝sinθ-cosθ-cosθ/sinθ
与式・sinθ＝(sinθ)^2-sinθcosθ-cosθ
　　　　　＝(sinθ-1)(sinθ-cosθ)

しかしここで、θ＝π/4のとき、sin(π/4)＝cos(π/4)だから与式・sinθ＝0、つまり、与式＝0となる。
よって、等式sinθ/1-cosθ - 1/tanθ =1/sinθは常に成立するわけではない。