置き換えた理由と計算法

この頁(https://math.005net.com/yoten/inbun3.php)に下記のような式がありました。

おきかえを使った因数分解
　　式の中の共通な部分を他の文字におきかえて因数分解する。

例 (x+y)^2+3(x+y)-10 　これを因数分解。
　　この式では (x+y) を他の文字に置き換える。

(x+y)=A とおく
(x+y)^2+3(x+y)−10 = A^2+3A−10 = (A+5)(A−2) = (x+y+5)(x+y−2)

二つ質問があります。

なぜAに置き換えたのでしょうか。置き換えたことで何がどのようになったのでしょうか。
また、置き換えてA2+3A−10となるところまでは、理解できますが、次の「(A+5)(A−2)」から理解できません。なぜそうなったのでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2018/02/16 01:24

当然ながら置き換えずに計算できます。

(x+y)を一つの文字として見ると

(x+y)²+3(x+y)-10
={(x+y)-2}{(x+y)+5}
=(x+y-2)(x+y+5)

今回は x+y なので置き換える意味がわからないのかもしれませんが、
もしも x²+x+√x +y²+y+√y のように長かった場合、
置き換えたほうが途中計算が書きやすくなるわけです。
また、見やすくなるというメリットもあります。

答案では同じことを何度も長々と書くと嫌がられる傾向があるので、
置き換えのテクニックを覚えてしまいましょう。


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一つ一つ説明すると次のようになります。

(x+y)=A とおく
すると、
(x+y)²+3(x+y)-10
=A²+3A-10
と書き直すことができるので、これを計算して
A²+3A-10=(A+5)(A-2)

ところで、(x+y)=A と置き換えたのだから、
A=(x+y) とも置き換えることができるので、
(A+5)(A-2)
={(x+y)+5}{(x+y)-2}
=(x+y+5)(x+y-2)
と書き戻すことができます。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2018/02/15 23:13

置き換えて見やすくするだけ！の効果ですね！あとは、

A^2 +3Aー10=A^2ー2A+5Aー10=(Aー2)(A+5)あとは、元にもどしているだけです。だから、基礎力が上がれば、直接に
(x+y)^2+3(x+y)ー10=(x+y)^2 ー2(x+y)+5(x+y)ー10
=(x+y)・｛(x+y)ー2 ｝+5｛(x+y)ー2 ｝
=(x+yー2)(x+y+5)と、スケルトン方式にできる！

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2018/02/15 20:35

(A+5)(A−2) = (x+y+5)(x+y−2) が理解できないのですか。

Ａ を x+y に戻しただけです。

A²+3Aー10=(A+5)(Aー2) が理解できないのですか。
単に因数分解しただけです。

置き換える事によって、見やすくなりますから、間違う事が少なくなります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/15 19:55

＞なぜAに置き換えたのでしょうか。

分かりやすく、見やすく、考えやすくするためです。

＞次の「(A+5)(A−2)」から理解できません。

単に、A=x+y を代入して元に戻しただけです。