極限値 f(a+(-h))-f(a)/(-h)がなぜf'(a)になるのか分かりません。過程の説明お願

極限値






f(a+(-h))-f(a)/(-h)がなぜf'(a)になるのか分かりません。過程の説明お願いします。

質問者からの補足コメント

• (1)の方の説明です
  
  
  可能ならば(2)もお願いします。

    補足日時：2018/02/27 17:39

• そもそも問題文の意味が分かりません。なぜ答えがf'(a)、f(a)を用いて表せるのかが分かりません。
  
  それから、分子の順番と符号が入れ替わってるのも分かりません。なぜそのようにするのでしょうか？質問多くてすいません。分かる方よろしくお願いします。

    補足日時：2018/02/28 22:57

No.3 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/03/01 10:30

実際に、この問題の意味を理解することは導関数を習い始める時点では難しいと思う。

　そもそも問題文として、何が定義されているかがはっきりしていないと、どこから証明してよいのかもわからない。　答えの書き方がざっくばらんであるところを見ると、そこまで細かいところを考えているとも思えないけど、ちゃんと理解するためにはそういうところの説明がつかないと難しいってのがある。

それはそうとして、、、
f'(a)=lim(h→0) [(f(a+h)-f(a))/h]
が、f'（導関数）の定義です。　これは、こういうものをこういう風に呼ぶと決めたものです。
なぜきめたかとか、どういう意味があるのかとか、何に使うのとかはいろいろありますが、
それはこの問題には関係ありません。　ただの決めごとです。

f'(a)だけを見ると、hの関数とはなっていませんので、ｈとは独立しています。
ということは、べつにｄにおきかえても構わないということです。
f'(a)=lim(d→0) [(f(a+d)-f(a))/d]

ぶっちゃけ、ｄ＝-ｈに置き換えても構わないということですので、
f'(a)=lim(-ｈ→0) [(f(a-h)-f(a))/(-ｈ)]
=lim(-ｈ→0) [(f(a)-f(a-ｈ))/ｈ] 分数の上下に－1をかけるとこうなります。

あとは、極限値の定義から、lim(-h→0）とlim(h→0）が同じ意味であることも証明できます。

で、余談になりますけど、この問題がグラフで見るとどういうことなのかって話ですが、
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/k-tai/kousiki/ …

このグラフで考えると、Pの右側にあるQをf(x)上どんどんPに近づけていくと、上記導関数の計算式で求められるものは、f(x)における接線の傾きになるよね。　（1）の問題は、QをPの左側において、どんどんPに近づけていったら、導関数の値はどうなるの？って話なんだ。　この場合は、どちら側から近づけていっても同じ値になるってことが視覚的にわかると思うし、計算上もそうなることもわかる。　

余談の余談として、じゃあf(x)=|x|のような関数においてf'(0)ってどうなるの？　V字になっているから接線の式って限定されないよね。　結論を行っちゃうと、この場合はf'(0)は存在しないってことになる。　要するに(1)の問題でf'(a)が存在すると言っている時点で、
lim(h→0) [(f(a+h)-f(a))/h]＝lim(h→0) [(f(a-h)-f(a))/（-h）]
というのは、絶対に必要な条件なんだ。

どの程度詳しく極限とかを理解しているかってのが、微分を理解できるのかってところにかかってくるのかもしれないけど、このあたりは数学の本質の始まりのところ。　ただ、ここを本当に理解していなくても、テクニックとしては微分も積分も苦労することはあまりないかもしれない。　少し進んでから、また戻ってきてこの部分を理解してみようと考えるのもよいかもしれない。

この回答へのお礼

こんなに長々と…
ありがとうございました(`･ω･´)/

お礼日時：2018/03/01 16:46

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/02/28 11:54

問題の上に回答の紙が重なっているのね。

ようやくわかった。

丁寧に答えが書いてありますが、、、
どのステップが理解できないのかな？

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/02/27 17:49

問題が全部見えていないのであれですが、、、

lim(h→0⁻)[(f(a)-f(a-h))/(-h)]
なのであれば、例えばt=-hとしたら、微分の定義により
lim(t→0)[(f(a)-f(a-t))/(t)]=f'(a)
ということになりますね。