竹とんぼの飛行姿勢について

次のような飛行体（竹とんぼのようなもの）の運動について教えてください。（図参照）
・すべての方向について回転軸は固定されていない
・推力は斜め上方（角度θ）で、作用線は重心を通る
・空気抵抗は無視
推力の作用線は重心を通っており、機体を鉛直方向に回転させる（θを変化させる）力のモーメントはなく、角度θが維持されたままFxによって並進運動が生じるという理解でよいでしょうか。感覚的には時間とともに水平（θ→0）姿勢に移行するように思うのですが、そうであれば、水平姿勢に移行するためのモーメントはどこから生じるのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 必ずしも竹とんぼである必要はないので、竹とんぼの羽の回転によるコマの運動の影響は無視する条件で結構です。非常にゆっくり回転する竹とんぼか、プロペラ回転によらない推力の想定でお願いします。

    補足日時：2018/03/06 23:50

• 竹とんぼの図を掲載したために混乱を招いているところもありましたので、別の図も掲載することにしました。最初の竹とんぼの図を剛体の運動として書き直した図が補足図1です。補足図1において回転が生じるか否か、生じるならその力のモーメントはどのように表現できるかを悩んでいます。
  この問題では力は推力Fと重力gのみとしましたが、さらに拡張して補足図2のように複数の力が働く時の力のモーメントをどう算出するのか（gが影響するのか否か）が知りたい点です。

  
    補足日時：2018/03/07 21:23

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/07 09:39

No.3です。

ちょっと訂正。

＞ただ、全体の「重心位置」に対して、「推力」の水平成分が力のモーメント（回転させるトルク）となって、竹トンボを鉛直にしようとする力が働くでしょう。

これは下記ですね。
「羽根を含めた全体の「重心位置」に対して、機体（軸）の重力が反時計回りのモーメントを与えるので、竹トンボを鉛直にしようとする力が働く」
ということですね。

つまり、竹トンボの「重心」の並進運動としては「静止」もしくは「推力と重力の合力」の方向に進み、その「竹トンボの重心」周りに反時計回りの回転運動が起こる（ただしジャイロ効果があるので、軸が軽ければあまり動かない）、という感じでしょうか。

この回答へのお礼

追加の回答ありがとうございます
反時計回りに回転するのですね
この反時計回りの回転運動を力のモーメントの式で表すとどうなるのでしょうか。重心にかかる重力が回転に関わるということだと思うのですが、重心は回転軸に一致しており、重力が回転のための力のモーメントとしてはゼロになってしまい、このあたりが理解できずにいます。

お礼日時：2018/03/07 12:53

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/07 09:27

＞・空気抵抗は無視

それだと、竹トンボは下に落ちますよね？

＞竹とんぼの羽の回転によるコマの運動の影響は無視する条件で結構です

それだと、単に「推力と重力の合力の方向に進む」というだけで、何の考察もいらないと思います。
推力は軸に平行（軸そのものの方向）だし、重力は「重心」に働くので、機体には力のモーメント（回転させるトルク）は発生しなさそうです。


竹トンボをやめて、棒の下端が地面に載っている「コマ」を考えれば、通常の「歳差運動」をすると思います。
「推力」が角運動量 →L、「重力」が下向き →mg なので、機体の先端を紙面の奥側に向かう歳差運動の力
　→N = →L × →mg　（ベクトルの外積）
が働きます。
http://eman-physics.net/dynamics/topspin.html


コマの場合には「接地面が動かない」という束縛条件がありますが、空中に浮遊する竹トンボだとそれがありません。
空中に浮遊している竹トンボでは、推力の鉛直上向き成分と重力とがつり合っていて（差があるとしてもわずか）、上記の「下向き →mg 」に相当する力がほとんど働かないので、「歳差運動の力」もほとんど働かないと思います。
ただ、全体の「重心位置」に対して、「推力」の水平成分が力のモーメント（回転させるトルク）となって、竹トンボを鉛直にしようとする力が働くでしょう。
回転する羽根のジャイロ効果（角運動量を一定に保とうとする、つまり軸を動かすまいとする力）との関係で、ゆっくりと鉛直向きになる、という運動でしょうか。
アナロジーとしては、下記のサイトにある「半球状の底面を持つコマ」の運動に近いのではないでしょうか。
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/ippan/H25_houkoku/sa …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
前提条件が不確実で申し訳ありません。わかりやすい例として竹とんぼで質問しましたが逆にわかりにくい質問になってしまいお手数をおかけしてしまいました。
問題を簡素化するために空気抵抗は無視しましたので、それでは飛べないという指摘はもっともです。であれば、推力はロケットエンジンでも磁力でも構いません。また、機体は推力から離れた位置に重心があればよいので回転している必要もありません。
このような条件では機体の傾きθは変動せず水平方向の加速だけが生じるという理解でよいでしょうか。

お礼日時：2018/03/07 12:48

No.2 回答者： HA-akihi48 回答日時： 2018/03/07 03:42

推力Fの分力Fyと機体にかかる重力が、同じなら、機体は同じ高さで、Fxにより水平移動します。

そのとき、Fyと重力で遇力 が働き、機体を回転さすモーメントが生じます。回転してFyと重力が同じ鉛直線上にくれば、回転がなくなります。
Fy＞重力ならその差α=(Fy-重力)が鉛直方向に進む力。
(Fy-α)と重力が同じより、遇力となり、これがモーメントとなり機体を左回転させます。Fxによる力が加わり、
その合成ベクトル方向へ進みます。
このように、考えましたが
参考になるでしょうか。

この回答へのお礼

偶力を考えるべきというご指摘ありがとうございます
いまひとつ偶力を理解しきれていないのですが、なぜ水平移動するFxについて力のモーメントを考える必要がないのでしょうか。重心から離れている作用点に力Fxが働いても、偶力が存在しなければ力のモーメントは働かないと理解すればよいのでしょうか。
この場合、力のモーメントは、rf x Fy（rfは重心から推力Fの作用点までの腕）になると思われますが、力のモーメントの合計を式に書くと、
N = rg x g + rf x Fx + rf x Fy
　rg：重力のかかる作用点と回転軸の距離は0なので0ベクトル
　rf：推力Fのかかる作用点と重心（回転軸）の距離（ベクトル）
になりそうなものの、なぜ３項目だけが残る（２項目だけが式からはずれる）のでしょうか。

お礼日時：2018/03/07 12:42

No.1 回答者： HA-akihi48 回答日時： 2018/03/07 01:24

竹トンボの羽が、空気を押し下げることで、その反作用力が羽に作用すると、思うのですが。

その反作用力の鉛直方向 の分力と重心にかかる重力によるモーメントにより左回転が生じます。
つまり、羽が空気ん押し下げる反作用力によるものと思うのですが。
どうでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
やはり左回転になるのですね
これをモーメントNを式で表すとどうなるでしょうか。回転軸が重心として、作用点のベクトルをrにすると、
N = rg x g + rf x Fx + rf x Fy
rg：重力のかかる作用点と回転軸の距離は0なので0ベクトル
　 rf：推力Fのかかる作用点と重心（回転軸）の距離（ベクトル）
にとなると思うのですが、rgがゼロベクトルだとgにようるモーメントの作用が現れず、rf x Fx + rf x Fyもゼロになってしまいます。なぜNがゼロなのに回転が生じるのでしょうか。回転軸と重心は一致しないのでようか。

お礼日時：2018/03/07 12:29