円周率について分からない事があります。小学生の時から疑問に思ってて未だに私の中では謎のままで馬鹿な

Question

円周率について分からない事があります。
小学生の時から疑問に思ってて未だに私の中では謎のままで馬鹿なのがばれる覚悟で質問します。
例の3.14から永遠に続く値はどのように導き出したのでしょう？
直径と円周を物理的にモノサシなどで測って出したのであれば誤差によりあれだけ精査な数字は出てこないと思うわけです。
幼稚な質問かとお思いでしょうが知ってる方、私でも理解できるように優しく教えてください。
宜しくお願いします。

Mokuzo100nen · Accepted Answer

物理的なモノサシは使いません。

物理的なモノサシでは、幾何学的な直線を書くことができないからです。
どんなに頑張ってもギザギザあるいはデコボコとうう言葉が妥当する線しか書けないのです。

で、幾何学は、物理的な制約を受けない世界、つまり観念の世界で考えることになります。

すると、円に内接する正多角形と、円に外接する正多角形は、角数を際限なく増やして行くことが観念的に可能になります。

正多角形の外周長は三角関数で求められるので、
外接正多角形の外周＞円周＞内接正多角形の外周、
という不等式から、円周に範囲が定まります。

しかし残念ながら、幾ら、正多角形の角数を増やして行っても、
外接正多角形の外周＝円周＝内接正多角形の外周
には、な・り・ま・せ・ん 。

この「ならない」というところが重要で、ここから、円周は有理数にはならない＝無理数である、という結論が導き出せそうですね。

因みに
私、文学部の哲学科で勉強中の老人です。フレーゲやフッサールなど、数学者の中には哲学で偉大な業績を残したひとは多くて、考えることが好きな人は、数学も哲学も一緒なのではないかと思います。

現在の学校教育が文系、理系などと分割しているのは、教える側の都合にすぎません。
「文化系だから、、」というエクスキューズはやめにして、興味を持ったことにはどんどん迫って行くのがオススメです。

インターネット時代ですから、独習も、昔よりたやすくなったしね。

Frau_Lein · Answer

ご質問から、
①円に内接する多角形の円に近接する辺の長さの計を求めます。これは円周の長さよりも短いですね。
②円に外接する多角形の円に近接する辺の長さの計を求めます。これは円周の長さよりも長いですね。

①②で、多角形の角数をどんどん増やして行きますと、①と②の差が限り無く小さくなります。
しかし、いくら角数を増やしても、①＝②となることはないので、円周の長さは、①と②の間にあることになります。

ご参考まで。

stomachman · Answer

こちらをご覧あれ → https://oshiete.goo.ne.jp/qa/7381141.html

t_fumiaki · Answer

ギリシャ時代に「取り尽し法」と呼ばれる計算方法で、既に円周率が循環しない無限小数になる事が知られていましたし、必要な桁数まで求める事も行なわれていました。

以下概略
円に内接する4角形と外接する4角形を考えます。
4角形だから、周囲の長さは線分となって計算が可能です。

図形と計算から
内接4角形の周の長さ<円周の長さ<外接4角形の周の長さ
が解ります。

4角形を8角形に・・・・200角形に・・・・、と角数を増やして行くと円周との差がどんどん小さくなって行きます。

そこで、それを推し進めてゆくと、幾らでも差が小さくなります。
無限角形は作れないけれど、幾らでも角数は大きく出来、円周との差は幾らでも小さくできる。

そこから、実際には手に入らないけど、無限角形の周の長さが推測され、それを直径で割ったのが円周率だという事です。

数学では「極限」を抜きにしては考えられませんが、根底は「賢明な諦め」と言う高度な思想です。

mide · Answer

すでに回答にあるように，古代ギリシャなどで多角形の周の計算から円周率の近似値を求める方法が考え出されました。
これは円に近い図形を使うことで直感的に解りやすいのですが，角の数を増やしていくと計算が大変で，その割には有効桁数は増えません。
そこで一旦図形から離れて，純粋に式の値だけで円周率を計算する方法が考えだされました。これには通常，「級数」が使われます。

級数というのは，大雑把に言えば規則性のある無限に続く（そしてこの場合次第に個々の値が小さくなっていく）項の足し算（と引き算）で表す方法です。
具体的にはπ/4の値として
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
と続いていく式で円周率を計算できるようになりました。これにより，先へ先へと項を増やしていけば真の円周率に近づけるわけです。
詳しくはWikipediaの「円周率」や「ライプニッツの公式」などを見てください。

しかしこの式ではたくさん計算してもなかなか桁数が伸びないことが分かってきて，数学者はもっと速く少ない計算量で多くの桁数を得られる式を
次々に発見し，計算法も工夫されて現在に至ります。つまりある時期からは円周率の計算は図形的な円から離れて数値計算の問題になり，
膨大な桁数の円周率が計算できるようになりました。

円周率について分からない事があります。 小学生の時から疑問に思ってて未だに私の中では謎のままで馬鹿な

ご質問から、

こちらをご覧あれ →

物理的なモノサシは使いません。

ギリシャ時代に「取り尽し法」と呼ばれる計算方法で、既に円周率が循環しない無限小数になる事が知られていましたし、必要な桁数まで求める事も行なわれていました。

すでに回答にあるように，古代ギリシャなどで多角形の周の計算から円周率の近似値を求める方法が考え出されました。

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