∮(x^2+1)^(-1/2)dxを部分積分で解くならどのような感じになりますか？過程を教えてくださ

∮(x^2+1)^(-1/2)dxを部分積分で解くならどのような感じになりますか？過程を教えてください。

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/03/24 22:31

∫(x^2+1)^(-1/2)dxを部分積分で解くならどのような感じになりますか？過程を教えてください。

t=x+√(x^2+1)とします。これの対数をF(x)=log(t)と置いて、両辺を微分すると
dF/dx=dF/dt×dt/dx=(1/t)×(1+(1/2)(x^2+1)^(-1/2)×2x)
=(1/t)×(1+(x^2+1)^(-1/2)×x)
=(1/t)×(1+x/√(x^2+1))=(1/t)×(√(x^2+1)+x)/√(x^2+1)
=(1/t)×(t)/√(x^2+1)=1/√(x^2+1)
この両辺を積分すると
F=∫(1/√(x^2+1))dx
よって
∫(x^2+1)^(-1/2)dx=F(t)=log(t)=log(x+√(x^2+1))
となって積分できました。部分積分は使っていませんが、どうして見つけたのか分かりません。
昔の人がいろいろ計算して見つけたのだと思います。部分積分を使っても、うまく行く方法はなかなかありません。少し違う問題では、部分積分が役立つ例がたくさんあります。
注意：∮は普通の積分記号∫にマルを付けたもので、閉曲線の一周にわたる積分を意味する記号です。
この問題には使えません。

No.1 回答者： takoハ 回答日時： 2018/03/23 20:49

直接は難しいのでは！？

∫ √(x^2 +1)dx=∫ (x^2 +1)/√(x^2 +1) dx=∫ x^2 /√(x^2 +1) dx +∫ 1/√(x^2 +1) dx …(1)

右辺の第項は、√(x^2 +1) ' =x/√(x^2 +1) と 部分積分より、x√(x^2 +1) ー∫ √(x^2 +1)dx

左辺は、いろいろあるが、双曲線関数 cosh^2 x ーsinh^2 x=1 より

x=sinhyから √(x^2 +1)=coshy ,dx／dy=coshy より

∫ √(x^2 +1)dx=｛ log(x+√(x^2 +1) +x√(x^2 +1)｝/2 ……(2)

(1),(2)より………