数学の質問です

y=−|x−2|+3　の式について、a,bをa<2<bをみたす定数とする。このとき、a≦x≦bに対する値域が2−a≦y≦bとなるようなa,bの値を求めよ。
の問が解けません。下に解説を貼りますが、それを読んでもよくわかりません。bについては理解しましたが、aを求める際の場合分けなどはする理由からまずわかりません。教えて下さい。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 解答にかいてあるⅰのa≦x≦bにおけるYの最小値は2（x=3のとき）っていうのは、x=1のときでも同じじゃないですか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/04/03 19:00

• 

  補足の連投申し訳ありません。ただ私の理解力では解答の言っていることがわかりません。
  場合分けをする意味、また場合分けした結果ⅰでa=0になって不適となっていますがその理由もわかりません。回答者様のやり方で行くと
  場合分けの必要もなく答えが1/2の一つに絞れるのですが…

    補足日時：2018/04/03 19:36

No.1 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/02 12:45

y=−|x−2|+3　の式について、a,bをa<2<bをみたす定数とする。

このとき、a≦x≦bに対する値域が2−a≦y≦bとなるようなa,bの値を求めよ。
まずグラフを描く。
x−2≧0のときy=−|x−2|+3=−(x−2)+3=−x+5＿＿(1)
x−2≦0のときy=−|x−2|+3= (x−2)+3=x+1＿＿(2)
次に、変域と値域という言葉を確認します。
変域は、ｘの変化する範囲(領域)でa≦x≦b＿＿(3)
と書いてあります。下図の↔です。変域の左端はa、右端はbです。
値域は、yの変化する範囲(領域)で2−a≦y≦b＿＿(4)
と書いてあります。下図の↕です。
値域の上端は最大値を言いかえたものでb＿＿(5)。
値域の下端は最小値を言いかえたもので2−a＿＿(6)
条件式a<2<b＿＿(7)
を確認します。
最大値b＝(5)はx=2のときy=3が目につきます。
x=2が式(3)の範囲にあるとするとa≦2≦b＿(3)
これは式(7)から保障されているので、最大値はx=2のときで、y=3＝ｂ＿＿(8)
となる。
次に、最小値はグラフのy=x+1＿(2)の線のあたりにあります。
ここでは、ｙは単調増加だからｘの範囲の左端で最小となります。
ｘの左端は式(3)によりｘ=aで、これを式(2)に入れると最小値のｙは
最小値＝式(2)のy=x+1＝a+1＿＿(9)
式(6)で最小値＝2−aの条件が付いていた。
最小値y＝2−a＿＿(10)
(9)(10)が同時に成立するのは、連立方程式を解いて
a+1＝2−a，2a=1，a=1となる。

この回答へのお礼

グラフまで作って下さりありがとうございます。最後のa=1は1/2のうち間違いですよね？直前まで合ってますので…
このやり方は納得できました、助かりました。ただ、それでも解答さんの言っていることは未だ不明です。場合分けの理由など…よろしければそちらの説明もお願いできませんか？

お礼日時：2018/04/03 18:51

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/04/04 17:23

御指摘通り、最後のa=1はa=1/2の間違いでした。

「場合分けの理由など」＞場合分けをする原因は、問題文の中に絶対値の記号があるからです。
記号|x|をxの絶対値の定義は、絶対値とはｘ≧０の時|x|=x、ｘ<０の時、ー|x|=xです。
この記号でｘ≧０の場合とｘ<０の場合に場合分けされます。それぞれの場合、|x|=xとー|x|=xとは使う式が違うから、場合分けをしないと、式を使って計算できません。絶対値の記号の中がプラスまたは０かマイナスかで場合分けをします。
問題文の中に|x−2|があるから、絶対値の記号の中がプラスまたは０かマイナスかで場合分けをすると、
[1]x−2≧０と[2]x−2<０の場合分けをしたのです。これを場合分けの条件といいます。これを調べると、
[1]x≧2と[2]x<2、と言うことだとわかります。
あなたの本の解説は、これを当然の前提として、解説文が短くて済むようにaの場合分けを工夫して書いています。
[1]x≧2は、x＝2のとき最大値ｂ＝３と書いて終わり。
最小値に関しては(i)１≦a<2と(ii) a<１に分けました。グラフを見ると、最小値の候補者がx＝３のときｙ＝2の点の付近とx＝0のときｙ＝１の点の付近を調べようと思い付いたのだと思います。
(i)１≦a<2のときは、１<a<2の数aを任意に取ってa≦x≦b=3となる場合があります。x=3はこの範囲にあるので、y=２が候補になります。(例えばa＝1.5)
「a≦x≦bにおけるYの最小値は2(x=3のとき)っていうのは、x=1のときでも同じじゃないですか？」＞
上記の場合(１<a<2の数aを任意に、例えばa＝1.5)、x=1は範囲外だから候補にならない。a＝１の時は候補になる。
以上から、思い付きで行った場合分けを調べて行くうちに、x=3の時y=２と、a＝１のときx=１の時y=２、(ii) a<１、の３つの場合に分かれたが、これは結果として、必然的な[1]x≧2と[2]x<2の場合分けをおこなったことになっているので問題を解くことができる。その候補のうちで、本当の解は、問題文の「値域が2−a≦y≦b」の条件できまり、
最小値y＝2−a、y=−|x−2|+3、を満たすものは、x=a=0.5， y＝1.5のみとなる。