剛体運動の問題について

次の問題を教えてください。
図2に示すように、半径a,質量mの球に高さhから図中に示す向きに初速度v0および角速度ω0の回転を与えて床に落とす。球は床に衝突した後高さhまで跳ね返った。
このとき、球は床上を滑ることなく、衝突の前後で力学的エネルギーは保存する。球の慣性モーメントはIは2/5*ma^2である。図中のx軸方向の向きとy軸方向の向きを正とする。(右向き、上向き)
1)床に衝突した瞬間の球のx軸方向、y軸方向および回転の運動方程式を記せ。ただし、球が床から受ける力をF=(Fx,Fy)とする。
2)衝突直後の球の回転角速度ω1を、衝突直後のx軸方向の速度vx1を用いて表してください。
3)衝突直後の球のx軸方向の速度vx1およびω1を求めよ。
1）max=Fx may=Fy-mg Iω'=aFx

2) ω1=－vx1/a or ω1=vx1/a
ω1=－vx1/aで解いた場合
3）vx1＝－ａ(Iω0－aｍv0)/(I＋ｍa²) ω1＝(Iω0－aｍv0)/(I＋ｍa²)
ω1=vx1/aで解いた場合
3)vx1＝－ａ(Iω0－aｍv0)/(I-ｍa²) ω1＝(Iω0－aｍv0)/(I-ｍa²)
(2)の答えはマイナスをつけるのですか?
マイナスをつけなくてもFxは負になると思います。

質問者からの補足コメント

• お礼で書いたことは本当にすみませんでした。
  １回目のお礼では訳のわからないことをかいていました。
  ２回目のお礼の方では、v0=vx1は間違っていることは自明なので
  力学的エネルギーが保存するということなので
  (1/2)*mv0^2+(1/2)*Iω0^2=(1/2)*m(vx1)^2+(1/2)*Iω1^2・・・①が成り立つと思います。
  ω1 = r*m(xvx1 - v0)/I + ω0・・・②
  ②よりI = (2/5)*mr^2を代入して
  ω1 = 5r*m(vx1 - v0)/2 + ω0 ・・・③
  ①、③式を連立して解けば、ω１とvx1は導出できると思うですがどうでしょうか?

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/05/18 01:10

• 理解できました。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/05/21 18:23

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/17 22:33

なんか、球の半径 a と加速度とが判別不能になっていますね。

球の半径は r にしましょう。

＞2) ω1=－vx1/a or ω1=vx1/a

球の半径を r とすると
　ω1=－vx1/r or ω1=vx1/r
ということですね。
でも、そうはならないでしょう。

vx1 は衝突直後の球の x 軸方向の速度ですよね？
静止していた球に周速度 vx1 を与えたのなら vx1 が直接 ω1 になりますが。
その場合には、当ら vx1 と ω1 は同方向ですから
　ω1 = vx1/r
です。まあ「どちらを正にするか」の問題ではありますが、v0 や ω0 の方向を「正」とすればそれで正負は決まります。

ここでは、「微分・積分」を使わずに問題を解かせようとしていますね？
なので、床と球との間に「正体の分からない力 Fx, Fy」を仮定しています。

「Fx, Fy」のうち、球の回転に関係するのは「x 方向」の力で、
・並進運動
　　m*ax = Fx
　→　m*Δvx = Fx*Δt 　　←要するに「力積」です。これは、微分を知っていれば ax=dv/dt ですから当然です。
・回転運動
　　I*Δω = Fx*r*Δt

これより
　　m(xvx1 - v0) = Fx*Δt
　　I(ω1 - ω0) = r*Fx*Δt
これから Fx を消去すれば
　　I(ω1 - ω0) = r*m(xvx1 - v0)
これより
　　ω1 = r*m(xvx1 - v0)/I + ω0
これに、問題文で与えられている
　　I = (2/5)*mr^2
を代入すればよいでしょう。（この慣性モーメントは、積分を使わないと導けないし）

3)は、y 方向も含めた「力学的エネルギー保存」から求めてください。

この回答へのお礼

Iは(2/5)*mr^2として、

m(vx1 - v0) = Fx*Δt・・①
I(ω1 - ω0) = r*Fx*Δt・・②
2) ω1 = vx1/r・・・③
①、②、③を利用してとくと、
vx1=(Irω0-mv0*r^2)/(I-mr^2)・・④
になるので
①、④式より連立すると、
Fx*Δt=(-2ω0)/(3r)+(3v0)/2・・⑤
⑤となりFx*Δt＜０を満たさないのです。
2) ω1 = ーvx1/r・・・⑥
⑥の通り符号をマイナスにすると
①、②、⑥を連立すると
vx1=(Irω0-mv0*r^2)/(I＋mr^2)・・・⑦
⑦と①を用いて、⑧式をだすと
Fx*Δt=(-2ω0)/(3r)+(3v0)/2・・・⑧
⑧式はFx*Δt＜0を満たしFxは負の方向に作用することがわかります。
よってどっちがあっているのかよくわからないのです。

お礼日時：2018/05/17 22:55

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2018/05/21 22:46

No.3です。

＞(1/2)*mv0^2+(1/2)*Iω0^2=(1/2)*m(vx1)^2+(1/2)*Iω1^2
この力学的エネルギーの保存の式を使えばよろしいですかね?＜

もちろんこれでよいのですが、もうすこしくわしくいうと
この式には、両辺ともに、はね返り前後の球の速度のｙ方向成分の2乗の項が抜けています。
しかしそれでもよいのです。
といういのは問題の条件に床に跳ね返ったあと球の投げだされた高さｈまでもどったとあります。
これは衝突の前後で速度のｙ方向成分の絶対値が等しくないと起こらないのです。
なので
おおもとの力学的エネルギーの保存の式で衝突前後のｙ方向の速度成分の２乗の項は相等しく
それらは打ち消しあうので、おたずねの式でよいのです。

以上、すでに理解されているなら蛇足です。スイマセン。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2018/05/18 17:56

主さんごめんなさい。

別スレで最初に回答した者です。
あそこで示したω1とｖx1の関係はあやまりでした。
あれでは、エネルギー保存が成り立たないことがわかりました。
確認不足でした、すいません。

捕捉にお書きのように
エネルギー保存の式①と、すでに導かれている式②とを連立して解くのです。
ちなみに結果をあげておきます。参考になれば幸いです。

ｖx1＝(3v0－4aω0)/7、ω1＝(－5/7)(2ｖ0/a＋3aω0/5)　になるかと思います。
ここでは半径をa、慣性モーメントを2/5ｍa^2でおきかえています。
また何かお気づきの点質問ください。

この回答へのお礼

(1/2)*mv0^2+(1/2)*Iω0^2=(1/2)*m(vx1)^2+(1/2)*Iω1^2
この力学的エネルギーの保存の式を使えばよろしいですかね?

お礼日時：2018/05/21 18:19

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/17 23:07

No.1です。

「お礼」に書かれていること：

＞m(vx1 - v0) = Fx*Δt・・①
＞I(ω1 - ω0) = r*Fx*Δt・・②
＞2) ω1 = vx1/r・・・③
＞①、②、③を利用してとくと、

＞2) ω1 = ーvx1/r・・・⑥
＞⑥の通り符号をマイナスにすると
＞①、②、⑥を連立すると

ですから、③⑥はあり得ないのですよ。
なんか、全く分かっていないのですね。

この回答へのお礼

そうですねすみませんでした。確かに③と⑥は成立していないです。
ということは2)がI = (2/5)*mr^2より
ω1 = 5r*m(vx1 - v0)/2 + ω0 ・・・①となり、
3)は力学的エネルギー保存則より、質点の時と同様に衝突直後の水平方向の速度はvx1=v0となるのですか?

お礼日時：2018/05/18 00:49