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次の問題を数2までの知識で教えてください。

x≧0,y≧0,z≧0とする。x+y+z/3≧三乗根(xyz)を証明せよ。
(x^3+y^3+z^3−3xyz≧0を使うようです。)

質問者からの補足コメント

  • x^3+y^3+z^3≧3xyzにはなりますが‥

      補足日時:2018/05/29 21:10

A 回答 (4件)

https://mathtrain.jp/factorization1

に詳細に説明が載っていますので参考に!
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https://mathtrain.jp/factorization1

にでています!

尚、(……)は、対称式は、性質で、基本対称式の積で表されることから
x^3+y^3+z^3ー3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+p(x+y+z)(xy+yz+zx)
という恒等式がおけるから、x,y,zに適当な数字を入れれば、p=ー1となるから求まる!
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x^3+y^3+z^3−3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2−xy−yz−zx)


=(1/2)(x+y+z){(xーy)^2+(yーz)^2+(zーx)^2}≧0
ここで、x+y+z≧0という条件だから
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x→x^1/3


y→y^1/3
z→z^1/3にして、左辺ー右辺をするだけだから、
結局 (……)を証明すればいいだけ!
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