積分による回転体の体積の求め方

積分による回転体の体積を求める下記問題の解説において、下記①の箇所が理解できないので、ご教授ください。

【問題】
x²+y²=r² と (x-r)²+y²=r² とで囲まれる領域をx軸まわりに回転させてできる立体の体積はいくらか。

答え　5πr³/12

【解説】
x²+y²=r²　…②
(x-r)²+y²=r²　…③
③-②より
(x-r)²-x²=0
r²-2rx=0
x=r/2
２つの円は直線 x=r/2 に対して対象であるから、斜線部をx軸まわりに回転したときの体積Vは、
V=2×π∫[0,r/2]｛r²-(x-r)²｝dx　…①
　=5πr³/12

【不明な点】
V=2×π∫[0,r/2]｛r²-(x-r)²｝dx　…①
①式において、｛r²-(x-r)²｝がどのようにして導かれるかがわかりません。
ご教授願います。

No.1 回答者： 酪酸納豆 回答日時： 2018/05/30 18:59

図を描いて見れば分かるが、円の式として回転させるのは、第1象限やろ。

つまりは
y>=0ってことやん。③の式を移行してすると君が欲しい答えが分かるんやないか。

この回答へのお礼

酪酸納豆さん
ご返答有難うございます。
おかげ様で理解できました。

お礼日時：2018/05/30 19:53

No.2 ベストアンサー 回答者： diff3356 回答日時： 2018/05/30 19:02

(x-r)^2+y^2=r^2 から、y^2=r^2-(x-r)^2 です。

[0, r/2] の範囲でどのグラフを使えばよいかを考えてください。
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※ 次のようにも計算できます。
V/2=∫[r/2~r]pi*(r^2-x^2)dx=(5/24)pi*r^3.

この回答へのお礼

diff3356さん
簡潔なご説明のおかげで、すぐに理解できました。
また、＋αで他の解き方を教えて頂き有難うございます。

お礼日時：2018/05/30 19:57

No.3 回答者： 酪酸納豆 回答日時： 2018/05/30 19:55

よかったのう。