半径a, 中心角60度の一様な扇型板の重心をGとしたとき、扇の中心Oから重心Gまでの距離を求める問題

半径a, 中心角60度の一様な扇型板の重心をGとしたとき、扇の中心Oから重心Gまでの距離を求める問題が解けません。どうやって解けばいいでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/06/04 22:58

お示しのような「扇形」であれば、「中心角」方向には「中心角 30°」上に重心があることは明らかですので、「半径方向にどの位置か」を調べればよいです。

「重心」とは、その扇形の各部分の「力のモーメント」が、「全質量が重心にある」ときの力のモーメントに等しくなる点ということです。
この場合には、扇形がその一部である「円」の中心周りの力のモーメントを考えるのが一番楽でしょう。

扇型板の単位面積あたりの質量（面密度）を ρ としましょう。
扇形のうち、半径 r ～ r+dr と θ ～ θ+dθ に囲まれた微小面の面積は
　dS = dr * rdθ = rdrdθ
です。この部分の質量が
　ρdS = ρrdrdθ
ですから、「円」の中心周りの力のモーメントは
　dM = r * ρdS = ρr^2drdθ
です。

従って、扇形全体にわたる力のモーメントの合計は、これを r :０～a、θ : 0～60°=0～パイ/3 で積分すればよいので
　M = ∫[0→a]∫[0→パイ/3]ρr^2drdθ
　　= ρ(パイ/3)∫[0→a]r^2dr
　　= ρ(パイ/3)[ r^3 /3][0→a]
　　= ρ(パイ/9)a^3　　　　　　　①

重心位置を「円の中心」から R の距離とすると、扇形の面積が
　　S = パイa^2 * (60/360) = (パイ/6)a^2
なので、その質量は
　　m = ρS = ρ(パイ/6)a^2
従って、重心位置の力のモーメントは
　　Mg = R*m = Rρ(パイ/6)a^2　　　②

①②が等しいので
　　Rρ(パイ/6)a^2 = ρ(パイ/9)a^3
よって
　　R = (2/3)a

つまり、扇の中心Oから重心Gまでの距離は (2/3)a です。

この回答へのお礼

扇型の全質量が重心にあるときの力のモーメント ＝ 扇型各部分における微小質量の力のモーメントの合計 として計算するのですね。ありがとうございました。

お礼日時：2018/06/05 04:46

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/06/05 02:14

扇形を右に向け、中心を通り、扇形を2分する線をx軸、扇形の中心を原点とします。

すると、重心はx軸上にあるので、x成分だけ考えると
oから重心までの距離xGは

xG=∫xds/S =∫xrdrdθ/S
dsは面積素、Sは扇形の面積

x=rcosθなので
xG=∫r^2cosθdrdθ/S

積分範囲は r=0~a、θ=-π/6~π/6なので
xG=(a^3/3)/S

S=πa^2/6 なので

xG=2a/π

この回答へのお礼

こちらが正答でした。ありがとうございました。

お礼日時：2018/06/05 08:59