階差数列型の
a(n+1)-a(n)=b(n)のとき
n≧2でa(n)=a(1)+Σ(n-1,k=1)b(k)
の式を証明する途中式です。
言葉が足りなくてすいません。
a(n+1)-a(n)=b(n)のとき
n=1のときa(2)-a(1)=b(1)
n=2のときa(3)-a(2)=b(2)
n=3のときa(4)-a(3)=b(3)
……………………………………
n=1-1のときa(n)-a(n-1)=b(n-1)
n=2
n=3
と増えてきているのに
最後の項はn=n-1となってしまうのですか?n=n+1のような気がするのですが。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
>階差数列型の
>a(n+1)-a(n)=b(n)のとき
とありますが、階差数列の定義は、次のようにも言い換えられます。
a(n)-a(n-1)=b(n-1) ただし n=2,3,4.… (*)
つまるところ、a(n)=……の式を導こうとしているのですから、実質、言い換えである(*)を使っているのではないですか。だから、(*)に順次、代入して、
n=2のときa(2)-a(1)=b(1)
n=3のときa(3)-a(2)=b(2)
n=4のときa(4)-a(3)=b(3)
……………………………………
n=nのときa(n)-a(n-1)=b(n-1)
というふうになり、なんら矛盾は生じません。質問者の錯覚(?)が生じた原因は、(*)に気づいていないからでは、と思うのですが。
No.2
- 回答日時:
n=1のときa(2)-a(1)=b(1)
n=2のときa(3)-a(2)=b(2)
n=3のときa(4)-a(3)=b(3)
・
・
・
n-1のときa(n)-a(n-1)=b(n-1)
n のときa(n+1)-a(n)=b(n)
n+1のときa(n+2)-a(n+1)=b(n+1)
a(n)を残したいとき、どこまで足しますか?
No.1
- 回答日時:
>a(n+1)-a(n)=b(n)のとき
のところを、「a(k+1)-a(k)=b(k)のとき」と変えます。
k=1 のとき a(2)-a(1)=b(1)
k=2 のとき a(3)-a(2)=b(2)
k=3 のとき a(4)-a(3)=b(3)
: :
: :
k=n-1のとき a(n)-a(n-1)=b(n-1)
これらの式を全部加えると
左辺=a(n)-a(1)
右辺=Σ[k=1,n-1]b(k) となりますよ。
最後の式を「k=n+1のとき」にすると
k=n+1のとき a(n+2)-a(n+1)=b(n+1)になりませんか?
与えられた漸化式をnの式でなく、kの式に置き換えたほうが、分り易いですよね。
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