シグマ 無限級数

学校の問題で、0.999…を無限級数で表せ。
という問題があったのですが、
◯◯＝0.9＋0.09＋0.009…かな？
と思ったのですが、◯◯に入るΣの部分と0.009…の最後をどう書けばよいのか、わかりません。
どなたか教えてください。m(_ _)m

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/07/10 11:20

0.9＋0.09＋0.009＋・・・は無限等比級数

(等比数列)0.9　0.09　0.009・・・の
第n項はan=0.9･(1/10)^(n-1)だから
この無限級数の表記の仕方は
0.9＋0.09＋0.009＋・・・=Σ[n=1～∞]0.9･(1/10)^(n-1)・・・①

①左辺は次第に0に近づくが、0.9＋0.09＋0.009＋・・・の形式で書くならば、＋0.009以下、小数が無限に続くので最後なんて書けない。
0.009＋・・・としか書きようがない。
なお＋を忘れずに書いた方が良いでしょう！＋なしだと、0.009…は９以下に数字が無限に並ぶ小数とみなされてしまう恐れがあるから。

①右辺は0.9＋0.09＋0.009＋・・・=a1+a2+a3+・・・
だから
=Σ[n=1～∞]an=Σ[n=1～∞]0.9･(1/10)^(n-1)
(ちなみ　Σ[n=0～∞]an　だとこれはa0+a1+a2+a3+・・・と言う意味でa0=0.9となるが
0.9は等比数列の第0項となるので適切でないように思われます。・・・個人的見解）

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
理解が出来ました！

お礼日時：2018/07/10 11:25

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/10 08:55

無限級数ですから、

正解は

(9/10)Σ[k = 0,∞](1/10)^k

ということでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2018/07/10 11:25

No.2 回答者： 500-horahuki 回答日時： 2018/07/10 01:53

1 + r + r^2 + r^3 + … + r^(n - 1) = (1 - r^n)/(1 - r) を使いたいので、

0.9 + 0.09 + 0.009 + …

= 0.9・(1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …) だから

(9/10)・Σ[k = 0, n - 1](1/10)^k

が正解なのではないか、ということでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！

お礼日時：2018/07/10 11:26

No.1 回答者： 500-horahuki 回答日時： 2018/07/09 22:13

(9/10)・Σ[k = 1, n](1/10)^k

でしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
めっちゃアホなこと聞くかもですが、
Σの右横は一般項を書くのですよね？
これは、初項0.9、公比0.1の一般項0.9×0.1^n -1
ではないのですか？

お礼日時：2018/07/10 01:40