f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2の極値を求める問題で停留点をまず求めたいのですがxに関

f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2の極値を求める問題で停留点をまず求めたいのですがxに関する偏微分、yに関する偏微分の連立方程式が解けません。
停留点は(0,0),(2,-2),(-2,2)になります。誰か教えてください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/08/09 02:02

記憶にあるだけで 3回目だ.

どこまでできてどこで詰まっている?

No.2 回答者： afilter 回答日時： 2018/08/10 09:12

fx=4x^3-8(x-y)=0

fy=4y^3+8(x-y)=0
より
x^3-2(x-y)=0・・・・①
y^3+2(x-y)=0・・・・②
①+②より
x^3+y^3=0・・・・・③
①-②より
x^3-y^3-4(x-y)=0
(x-y)(x^2+xy+y^2-4)=0・・・・④

したがって
①かつ②　⇔　③かつ④　となる。
x^3+y^3=0・・・・・③
(x-y)(x^2+xy+y^2-4)=0・・・・④
③より
(x+y)(x^2-xy+y^2)=0
x+y=0
または
x^2-xy+y^2=(x-y/2)^2+3y^2/4=0
より
x=y=0
となるが、これはx+y=0に含まれるので特に考える必要はない。
したがって、
x+y=0
かつ
(x-y)(x^2+xy+y^2-4)=0　⇔　x-y=0　または x^2+xy+y^2-4=0
x+y=0
x-y=0
より
x=y=0
が得られる。
x+y=0
x^2+xy+y^2-4=0
より
x^2-x^2+x^2-4=0
となり、
x=±2、y=∓2　(複合同順)
が得られる。