ルジャンドル変換について。 全ての変数について下に凸な多変数関数f(x₁,x₂ ,･･･)をx₁ に

ルジャンドル変換について。
全ての変数について下に凸な多変数関数f(x₁,x₂ ,･･･)をx₁ についてルジャンドル変換した
h₁(p₁,x₂,･･･)＝f(p₁,x₂,･･･)－p₁x₁
(ここで、p₁はfをx₁ で偏微分したもの)
はx₁以外の変数について下に凸のままであることを示したいが、やり方が思いつかない。
どなたかわかる方教えてください。

No.1 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/08/12 02:00

以前あなたが質問していた、

f(x)が上に凸であることの定義を使えば良いのではないでしょうか？
区間Iにて定義されたf(x)が任意のa,b∈Iと、0＜λ＜1の任意のλについて、
f(λa+(1-λ)b)≧λf(a)+(1-λ)f(b)
が成り立つ、というやつです。
下に凸なので
f(λa+(1-λ)b)≦λf(a)+(1-λ)f(b)
に変えて、さらに多変数関数の変数x[n]について、
f(x[1],…,x[n-1],λa+(1-λ)b,x[n+1],…)≦λf(x[1],…,x[n-1],a,x[n+1],…)+(1-λ)f(x[1],…,x[n-1],b,x[n+1],…)…①
となるでしょう。x[n]の他の変数がどんな値でも成り立つのではないかと思います。
そして、ルジャンドル変換した関数について、第n変数(n≧2)において
h(x[1],…,λa+(1-λ)b,…)
=f(p[1],…,λa+(1-λ)b,…)-p[1]x[1]
≦λf(p[1],…,a,…)+(1-λ)f(p[1],…,b,…)-p[1]x[1] (①より)
=λf(p[1],…,a,…)+(1-λ)f(p[1],…,b,…)-p[1]x[1]+λp[1]x[1]-λp[1]x[1] (λp[1]x[1]を足して引いた)
=λf(p[1],…,a,…)-λp[1]x[1]+(1-λ)f(p[1],…,b,…)-p[1]x[1]+λp[1]x[1] (さっき足して引いたやつの場所を入れ替えただけ)
=λf(p[1],…,a,…)-λp[1]x[1]+(1-λ)f(p[1],…,b,…)-(1-λ)p[1]x[1] (末尾の二項を-p[1]x[1]てくくった)
=λ{f(p[1],…,a,…)-p[1]x[1]}+(1-λ){f(p[1],…,b,…)-p[1]x[1]} (前半をλで、後半を(1-λ)てくくった)
=λh(p[1],…,a,…)+(1-λ)h(p[1],…,b,…)
となるので証明終了かな。合ってるかは知りません。