数学II 図形と方程式です。 解き方を教えて下さい！！お願いします！！ 円x^2＋y^2＝４と直線y

数学II 図形と方程式です。 解き方を教えて下さい！！お願いします！！

円x^2＋y^2＝４と直線y＝x＋Kが異なる２点P,Qで交わるとき、次の問に答えよ。
（１）定数Kの値の範囲を求めよ。

（２）線分PQの中点Mの座標をKを用いて表せ。

（３）定数Kの値が変化するとき、（２）の中点Mの軌跡を求めよ。

解答⑴-2√2<k<2√2
⑵(-k/2,k/2)
⑶直線y=-xの-√2<x<√2の部分

No.2 ベストアンサー 回答者： 六つ五郎 回答日時： 2018/08/14 19:50

図をそえました。

参考になれば。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！なんとお礼を言ったら良いか。ご丁寧に図まで添えてくださってありがとうございます！

お礼日時：2018/08/14 20:47

No.1 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/08/14 18:22

(1)交点の求め方は中学校で学習した一次関数などと同じで、連立方程式を解きましょう。

x^2+y^2=4にy=x+kを代入して
x^2+(x+k)^2=4
x^2+x^2+2kx+k^2=4
2x^2+2kx+k^2-4=0…①
異なる2点で交わるということは、この方程式が異なる2つの解を持つということなので、判別式D>0となるkの値を求めます。(この方程式の場合は、xの一次の係数に2があるのでD/4で良いですが、｢なにそれ？｣と思われると困るので普通にDで計算します)
D=(2k)^-4･2･(k^2-4)
=4k^2-8k^2+32
=-4k^2+32>0
となればよいので
-4k^2+32>0
k^2-8<0
k^2<8
-2√2<k<2√2

(2)2点の中点の座標は、それぞれの点のx座標同士、y座標同士の平均になるので、まずPQの座標を求めます。x座標が小さい方をPとしますね。
①の方程式はx^2+y^2=4とy=x+kの交点P、Qを求めるものだったのでこれを解きます。
2x^2+2kx+k^2-4=0
x=(-2k±√D)/(2･2)
=(-2k±√D)/4
従って、P、Qのx座標はそれぞれ(-2k-√D)/4、(-2k+√D)/4であることが分かります。
ここからはやり方が二つあります。
(1つ目)それぞれはy=x+kを通るので、代入すればy座標を求めることが出来、x座標同士、y座標同士の平均を求めれば答えが出ますが、
(2つ目)x座標の平均を求めてからそれをy=x+kに代入しても答えが出るので今回は後者でやります。
(-2k-√D)/4と(-2k+√D)/4の平均は、足して2で割ればよいので
[{(-2k-√D)/4}+{(-2k+√D)/4}]/2
=[{(-2k-√D)+(-2k+√D)}/4]/2
=(-4k/4)/2
=-k/2
これがPQの中点のx座標です。これをy=x+kに代入すると
y=-k/2+k=k/2
よってPQの中点M(-k/2,k/2)

(3)Mは(1)で求めた、-2√2<k<2√2の範囲で動きます。そしてその軌道は、Mのx、y座標がともに一次式であることから、一次関数のグラフ上にあることが分かります。その一次関数の式を求めます。
一次関数の式は、その直線を通る2点の座標が分かれば求められるので、適当なkの値を定めて2点の座標を求めます。
k=0のときM1(0,0)
k=2のときM2(-1,1)
この2点を通る直線はy=-xです。
また、-2√2<k<2√2という条件があるのでMのx座標x=-k/2の範囲は
-√2<x<√2となります。