

No.2ベストアンサー
- 回答日時:
両辺を√(xy)で割ると、
(√x)/(√y)+(√y)/(√x)=1/(√x)+1/(√y)+1となる。
相加・相乗平均の関係より、(√x)/(√y)+(√y)/(√x)≧2より、1/(√x)+1/(√y)≧1となる。
x≦yとして考えても一般性を失わないので、1/(√x)+1/(√x)≧1/(√x)+1/(√y)≧1より、2/(√x)≧1となる。よって、x≦4であることが分かる。
1)x=1の時、1+y=1+2(√y)より、y=2(√y)なので、両辺を2乗するとy^2=4yとなり、x≦yよりy=4。なので、x=1、y=4の時は等式を満たす。
2)x=2の時、2+y=√2+(√y)+√(2y)。これを少し変形すると2+y=√2+(√y)(1+√2)となり、2-√2+y=√y(1+√2)なので、両辺を2乗すると
y^2+4y+6-(2y+4)√2=3y+2y√2より、y^2+y+6=(4y+4)√2となります。左辺は整数なので、右辺も整数にするには4y+4=0を満たさないといけないですが、これを満たす自然数yはありません。なので、x=2の時の解はないです。
3)x=3の時はx=2の時と同じ方法で確認してください。x=3の時の解も同様の理由でありません。
4)x=4の時、4+y=2+√y+2√yより、2+y=3√yなので、両辺を2乗するとy^2+4y+4=9yより、y=1,4となりますが、x≦yと今は仮定しているので、(x,y)=(4,4)です。
なので、x≦yの条件を外して考えてみると1)~4)より(x,y)=(1,4)、(4,1)、(4,4)となります。
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