不等式の証明について 添付した画像の不等式はどうやって示すのですか？ 不等式の意味は、v² の積分は

不等式の証明について
添付した画像の不等式はどうやって示すのですか？
不等式の意味は、v² の積分はvの平均の二乗の積分よりも大きいということです。

変分法を使わない示し方をおねがいします。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/10/03 17:39

vの平均をv_mとしましょう。

∫[t1→t2][{v(t)}^2-(v_m)^2]dt=∫[t1→t2][{v(t)-v_m}^2+2*v(t)*v_m-2*(v_m)^2]dt
と変形できます。
この被積分関数の2番目の項をとると
∫[t1→t2]2*v(t)*v_m dt=2*v_m*∫[t1→t2]v(t) dt=2*v_m*(t2-t1)*∫[t1→t2]v(t) dt/(t2-t1)=2*v_m*(t2-t1)*v_m
=2(t2-t1)(v_m)^2
となります。
3番目の項は
∫[t1→t2]-2*(v_m)^2 dt= -2(t2-t1)(v_m)^2
となり、これは第2項と符号が逆の値、つまり、第2項と第3項は打ち消し合います。

よって元の式は
∫[t1→t2][{v(t)}^2-(v_m)^2]dt=∫[t1→t2]{v(t)-v_m}^2 dt
となり、常に{v(t)-v_m}^2≧0ですからこの積分の値は0以上になります。

この回答へのお礼

わかりやすかったです！ありがとうございます！

お礼日時：2018/10/05 15:12