(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)(x+11)(x+15)を展開して得られる多項式に

(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)(x+9)(x+11)(x+15)を展開して得られる多項式について、次の問いに答えよ。

(1)x^7の項の係数を求めよ。
(2)x^6の項の係数を求めよ。

全部展開して計算してやっていたんですが、流石に面倒なので簡単にできる方法教えてもらえますか？

No.5 回答者： ご意見をお願いします。 回答日時： 2018/10/10 11:42

（ ）が全部で7コあることに着目すれば、組み合わせで解けると思います。

（1）7コの( )の全てでxの項を選んで掛け合わせなければなりません。またxの項の係数は全て1ですので、1×1×1×1×1×1×1＝1

（2）7つの( )のうち、一つだけ定数項を選んで掛け合わせれば良いです。
最初に定数項をえらんだならば、1×1×1×1×1×1×1＝1
二つ目の( )で定数項を選んだならば、1×3×1×1×1×1×1＝3
以下同様に、、、
1×1×5×1×1×1×1＝5
1×1×1×7×1×1×1＝7
1×1×1×1×9×1×1＝9
1×1×1×1×1×11×1＝11
1×1×1×1×1×1×15＝15
これらを全て足せば良いので、51

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2018/10/08 18:09

数学の考え方 : 細分化！

(x+1)(x+3)=x^2 +(1+3)x+1・3 より

(x+1)(x+3)(x+5)=｛ x^2+(1+3)x+1・3｝(x+5)=x^3+(1+3+5)x^2……+1・3・5

……………

与式のx^7の係数は1 x^6の係数は、1+3+5+7+9+11+15=51

No.3 回答者： Qじろ- 回答日時： 2018/10/08 00:40

私が考えるのは、

展開はめんどくさい…

多項定理とかも関係なさそう…

まぁ展開しかないかー…
でも、工夫したいな。
x^7の項の係数だけか。

今回、因数(x+？)は7個あるから、
7個からxを7個選ぶから1つしか作れない。
また計算すると
係数は
1
だな！

x^6の項の係数か。
次は7つの因数からxを6個選んで、残りの数字を掛ければいいんだね。
だから、7つ作れる！
それぞれ係数は
1,3,5,7,9,11,15
だからこれを全部出せば求められるな。
したがって
51
だな！

(それにしても何で+15なんだろう… 13でいいのにね)

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/10/07 18:33

「多項式　2項定理」で検索のこと。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/10/07 17:38

1、51

6次の場合、6個の因子でxを選び、1個の因子で数字を選ぶ。
つまり
x^6 + 3x^6 + 5x^6 + 7x^6 + ・・・
つまり各因子の右の数値の和。